TA 18. Ejercicio basado en un circunferencia lobulada de seis elementos. Primer ciclo de ESO.

    Vamos a hacer un ejercicio muy interesante que tiene por objeto desarrollar la creatividad y el manejo del compás. Consiste en hacer una figura geométrica llamada "circunferencia lobulada", muy usada en las artes decorativas, y que es sencilla de hacer. Pero antes de comenzar con la actividad viene bien repasar los elementos que tiene una circunferencia. Para ello basta con leer la introducción de esta entrada que está en el mismo blog: https://dibutodo.blogspot.com/2017/12/division-de-una-circunferencia-en.html

  
    A continuación ofrecemos la explicación del proceso de construcción.

 

    Trazamos una circunferencia con un radio determinado, por ejemplo de 40 mm. Trazamos un diámetro horizontal, que nos determina en la circunferencia los puntos 1 y 2. 

   
  Con centro en el punto 1, volvemos a trazar una circunferencia con el mismo radio. Dicha circunferencia, al cortar la circunferencia primera nos determina los puntos 3 y 4.

 

    Con centro en el punto 3, volvemos a trazar otra circunferencia de igual al radio, la cual nos determina el la primera circunferencia otro punto más, el 5.

 

  

  Con centro en el punto 4, volvemos a hacer la misma operación. Obtendremos así el punto 6.

    
 Con centro en los puntos 5 y 6 volvemos a hacer la misma operación, obteniéndose así la figura buscada.

   
   
Visto el proceso de construción, ahora nos toca dibujar a nosotros, con la siguiente actividad:

    Actividad nº1.

   Título de la actividad: Diseño basado en una circunferencia lobulada de seis elementos.


1. Dibujar en un formato A/4 una circunferencia lobulada de seis elementos.

2. Una vez resuelta tendremos que retocarla para obtener una figura decorativa diseñada por nosotros. La circunferencia lobulada será el patrón del que nos guiaremos. Vamos a emplear solamente el lápiz de grafito.

   A continuación mostramos dos ejemplos resueltos por los alumnos:

Actividad nº2, complementaria.

   Vas a intentar hacer lo mismo pero el resultado será el de una circunferencia lobulada de ocho elementos. Te doy una pista: piensa que la solución del ejercicio sería muy fácil si dividimos la circunferencia primera en cuatro partes iguales.

 

Actividad nº 3 de ampliación.

Resuelve este estudio de geometría basado en la primera actividad: https://youtu.be/sCaTqaTMKq0

 

Actividad nº 4, de refuerzo.

   Como actividad de refuerzo solo se pide hacer el ejercicio nº1 añadiendo además circunferencias de 45 mm de radio, tal como aparece en la ilustración que se muestra. Rellénalo a color intentando diferenciar un anillo de otro.

Conceptos y trazados geométricos fundamentales. 1º de bachillerato

  Lo tratado en esta entrada versa sobre:

- Conceptos y trazados geométricos fundamentales (paralelismo, perpendicularidad, división, suma de segmentos, etc)

- Aunque se da aparte del tema anterior, también entra el tema de ángulos, la escuadra y el cartabón, conceptos elementales sobre la circunferencia y concepto de arco capaz.

- Definición como lugar geométricos de todos los conceptos que se presten a ello.

Preguntas de teoría.

   En primer lugar colocamos una batería de preguntas teóricas que son las que podrían caer en un examen:

1. Definición de línea recta.
2. Definición de línea curva.
3. Definición de semirrecta.
4. Definición de segmento.
5. Definición de circunferencia como lugar geométrico.
6. Dibuja las seis posiciones relativas que pueden haber entre dos circunferencias y escribe debajo de cada dibujo de qué caso se trata.
7. Dibuja las tres posiciones relativas que pueden haber entre una circunferencia y una recta, y escribe debajo de cada dibujo de qué caso se trata.
8. ¿Qué son dos rectas perpendiculares? 
9. Define mediatriz de un segmento como lugar geométrico.
10. ¿Qué es la distancia entre un punto y una recta y cómo se determina?
11. ¿Qué es la distancia entre una recta y una circunferencia y cómo se determina?
12. Dibuja las posiciones relativas que pueden haber entre dos rectas, y escribe debajo de cada dibujo de qué caso se trata.
13. Definición de ángulo.
14. Define bisectriz de un ángulo como lugar geométrico.
15. Clasificación de ángulos según cómo se combinan entre sí. Acompaña cada caso con un dibujo.
16. Clasificación de ángulos según su apertura. Acompaña cada caso con un dibujo.
17. ¿Cuáles son los ángulos de la escuadra?
18. ¿Cuáles son los ángulos del cartabón?
19. ¿Qué es un goniómetro?
20. Uno de los elementos de una circunferencia es el radio. Escribe los otros tres.
21. Definición de círculo.
22. Definición de arco capaz de un ángulo respecto a un segmento como lugar geométrico.
23. ¿Cómo es el arco capaz de un ángulo de 90º para un segmento dado? 
24. ¿Cuándo decimos que dos circunferencias son tangentes entre sí? ¿Cómo se determina exactamente el punto de tangencia?

   Ejercicios.

     A continuación colocamos una serie de ejercicios de trazados geométricos fundamentales, así como otra de trazado de paralelas y perpendiculares con la escuadra y el cartabón. En las imágenes se muestran las soluciones de los ejercicios. Es importante señalar que en las dos imágenes que se muestran, los arcos de circunferencia trazados, los cuales deberían ir con un grosor fino, de aproximadamente unos 0,2 mm, se han dibujado algo más gruesos, ya que ha habido que insistir para que se pudiesen ver bien a la hora de escanear los dibujos, ya que el acabado a lápiz siempre da como resultado un dibujo de poca intensidad.

 

    Las hojas con los ejercicios en blanco se pueden descargar  en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/11iEDncDfwAbgPE7iUbAQMBtYZ8uk3eX0/view?usp=sharing

   Continuamos con una hoja de ejercicios sobre ángulos en donde se muestra el resultado:

    La hoja con los ejercicios en blanco se puede descargar en el siguiente enlace:  https://drive.google.com/file/d/15E61Y2Hzf6o0K6-Naj89yg6PABkUyFSG/view?usp=sharing

   Seguimos con una hoja de ejercicios de lugares geométricos fundamentales.

    La hoja con los ejercicios en blanco se puede descargar en este enlace: https://drive.google.com/file/d/1PoY32UjBRXd2tpWqIhmgRgcpl6fYbne6/view?usp=sharing

 

 Finalizamos con la hoja de ejercicios refrente al tema básico sobre la circunferencia.

    Ofrecemos también la hoja de ejercicios en PDF sobre la circunferencia en blanco en el siguiente enlace . https://drive.google.com/file/d/1qGk3Y63Di_NXoYa1q0bKwYlbCPg8DOf6/view?usp=sharing

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

  La circunferencia está llena de relaciones geométricas. Una de las más conocidas es la relación de proporción que se produce cuando irradiamos rectas secantes o tangentes a la cicunferencias desde un punto exterior.

   La explicación en vídeo la podemos obtener en este enlace, concretamente en el minuto 3,47: https://youtu.be/4qtsBjo7jXc

  En la ilustración siguiente vemos cómo desde un punto exterior P a una circunferencia de centro O irradiamos una serie de rectas, dos secantes y una tangente a dicha circunferencia, de tal forma que podemos obtener una serie de segmentos que llamaremos PA, PB, PC, PD, PT.

  Pues bien; el producto de los segmentos que se obtienen siempre es constante. A ese valor constante, que llamaremos K, es lo que se denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia de centro O. De tal forma que el producto de los dos sementos PA x PB es el mismo que el producto de los dos segmentos PC x PD, e igual al producto de PT x PT (T se consideraría un segmento infinitamente pequeño), y de los infinitos segmentos que surjan de irradiar rectas desde el punto P y que corten a la circunferencia dada.

  Si unimos los puntos A y D mediante un segmento y los puntos C y B mediante otro segmento obtenemos las siguientes relaciones, tal como se muestra en la ilustración:

- Los ángulos que se forman alfa 1 y alfa 2  están inscritos en la circunferencia y los dos abarcan el mismo segmento BD (cuerda BD), luego los dos son iguales a la mitad del ángulo central. Llegamos, pues a la conclusión de que los dos ángulos son iguales. Recordemos que todo ángulo inscrito en una circunferencia  es la mitad del angulo central de una circunferencia si los  ángulos abarcan un mismo segmento, así como dicho ángulo central. La demostración de este postulado lo explicamos esquemáticamente en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/2016/05/angulos-en-la-circunferencia.html


- Por el mismo razonamiento, los ángulos beta 1 y beta 2 también son iguales.

- Los ángulos gamma 1 y gamma 2 son iguales también, pues son ángulos opuestos por el vértice.

- Es evidente, entonces, que los triángulos formados por dichos ángulos son semejantes. Tienen la misma forma pero diferente tamaño. Son proporcionales.

- Los triángulos PBC y PDA también son semejantes, pues comparten un mismo ángulo (el omega del vértice común P) y los ángulos beta 1 y beta 2 miden lo mismo.

- Si son semejantes, podemos establecer la siguiente relación de proporción:  PA / PD = PC / PB, luego PA x PB = PC x PD.

- PT viene comprendido por una recta tangente a la circunferencia . La sección producida, pues, se puede concebir como infinitamente pequeña, de tal foma que el punto T es un punto doble, es como un segmento infinitamente pequeño en que sus extremos coinciden, luego:

                                                                                                                               

 PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT al cuadrado.

- De esta relación de proporción se deduce también que el segmento PT es media proporcional entre los segmentos PA y PB o PC y PD. Luego estamos ante un método gráfico muy adecuado para calcular medias proporcionales entre dos segmentos dados.

Es de interés destacar que lo ocurrido  con el segmento PT es clave para la resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias basados en ejes y centros radicales. Dichos problemas se fundamentan en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/search?q=radical

T 11. División de una circunferencia en partes iguales (polígonos regulares).

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES.
(Obtención de polígonos regulares conocida la circunferencia que los circunscribe)

   
   Esta entrada sobre división de una circunferencia vale para todos los niveles de ESO y de bachillerato. Para cada nivel se exigirá un problema u otro en clase.

   Introducción.

   La definición más típica de circunferencia es la curva cerrada y plana en la que todos sus puntos mantienen una misma distancia respecto a un punto llamado centro.

 

  Los elementos más significativos de una circunferencia, tal como vemos en la imagen inferior, son:

1. El centro de la circunferencia. Se suele designar con la letra O.

2. El radio: es la distancia que existe desde un punto cualquiera de la circunferencia al centro O.

3. El diámetro: es el segmento que pasa por el centro y que abarca dos puntos de la circunferencia. Mide el doble magnitud que el radio.

4. Cuerda. Cualquier segmento que abarque dos puntos de la circunferencia.

5. Arco: cualquier porción de circunferencia. En el caso de la imagen inferior,el arco que abarca los puntos a y b.

  
 La división de una circunferencia en partes iguales resulta muy útil, pues es un buen instrumento para la construcción de polígonos regulares entre otras formas geométricas, ya que podemos obtenerlos uniendo las divisiones de la circunferencia con segmentos, siendo estos cuerdas de la circunferencia, los cuales serían los lados del polígno buscado. Mostramos a continuación un ejemplo con la división en 12 partes iguales de una circunferencia. Obtendríamos así un dodecágono regular.

   A continuación vamos a tratar de la división de la circunferencia en un número determinado de partes iguales.

   1. División de una circunferencia en tres y seis partes iguales.

1. Trazamos un diámetro vertical AB.

2. Con centro en el extremo B y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco , que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Tendremos así los puntos A, C y D quedando ya dividida la circunferencia en tres partes iguales. Uniendo dichos puntos tendríamos un triángulo equilátero.

3. Repetimos la misma operación con centro en el punto A, y obtenemos los puntos E y F.

4. Los puntos A,B,C,D,E y F son las divisiones de la circunferencia 1,2, 3, 4, 5, y 6. Uniendo todos los puntos con segmentos, obtendríamos un hexágono regular.

   2. División de una circunferencia en cuatro y ocho partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular al anterior, CD. Tendremos ya dividida la circunferencia en cuatro partes iguales, A,B,C y D. Uniendo dichos puntos con segmentos obtendríamos un cuadrado.
    Trazamos a continuación la bisectriz al cuadrante (ángulo recto) COB, con el fin de dividir por la mitad el arco BC. Obtendremos así el punto E. Si unimos el punto E con el centro O y prolongamos la unión, obtendremos F, punto que divide al arco AD en dos partes iguales también.

3. Hacemos la misma operación con el arco CA para obtener las divisones G y H. Hemos pasado, pues, de cuatro divisiones a ocho divisiones.

4. Lospuntos A,B,C,D,E.F,G y H son las ocho divisiones iguales de la circunferencia. Si los unimos con segementos obtendríamos un octógono regular.

   3. División de una circunferencia en cinco partes iguales.

1. Trazaremos  un diámetro preferentemente horizontal, AB.

2. Trazamos un diámetro perpendicular al primero. Y trazamos la mediatriz del radio OB que nos sale, con el fin de hallar M, punto centro de ese radio.

3. Con centro en M y radio MC, trazamos un arco de circunferencia hasta obtener el punto D en el diámetro.

4. La distancia CD es justo una quinta parte de la circunferencia. Si hacemos centro con el compás en el punto C, que será el punto 1, llevamos esa cantidad de 1/5 y la repartimos por la circunferencia, esta quedará dividida en cinco partes exactamente iguales y podremos construir, uniendo las divisiones con segmentos, un pentágono regular.

   4. División de una circunferencia en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

3. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos E y F.

4. Al unir los punto E y F, obtendremos un segmento que cortará al diámetro horizontal en el punto G. La distancia G E, es justo un séptimo de la circunferencia. Basta que comencemos a llevarnos dicha distancia desde el punto C (que será el punto 1) para que se divida la circunferencia en siete partes iguales. Si unimos las divisiones con segmentos, obtendríamos un heptágono regular.

  5. División de una circunferencia en nueve partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto C y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en un punto que llamaremos E. 
3. Ahora, con centro en el otro extremo D del diámetro vertical y  radio igual a  DE trazaremos otro arco que nos cortará a la prolongación del diámetro horizontal AB en un punto que llamaremos F.

4.  Con centro en el punto F y radio FC, trazamos nuevamente otro arco de circunferencia, el cual cortará al diámetro AB en el punto G. La distancia AG es justo la novena parte de la circunferencia. Basta repetir nueve veces la cantidad para que nos quede dividida la circunferencia en nueve partes iguales.

6. División de una circunferencia en diez partes iguales.

 

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos que llamaremos E y F. La recta que pasa por esos puntos es la mediatriz del radio y lo dividirá en el punto M.
3.  Con centro en el punto M y radio MC trazamos un arco de circunferencia que cortará al diámetro AB en un punto (no viene nombrado).
4. la distancia entre ese punto y el centro de la circunferencia es la décima parte. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividida en diez partes iguales.



7. División de una circunferencia en once partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Con centro en el extremo A del diámetro AB y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que cortará a esta en el punto F.
3. Con centro en el extremo D del diámetro CD trazaremos otro arco de igual radio que el de la circunferencia, el cual cortará a esta  en el punto E.
4. Con centro en el punto E y radio igual a EF trazaremos un arco de circunferencia que cortará al diámetro CD en el punto G. La distancia entre el punto F y el punto G es justo un onceavo de la circunferencia. No se ha dibujado el segmento para que se vea claro el dibujo. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividiva en once partes iguales.



 8. División de una circunferencia en doce partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal de extremos 1 y 2. Trazamos otro perpendicular (vertical) de extremos 2 y 4. (Los hemos nombrado con números porque ya son divisiones de la circunferencia).

2.  Con centro en la división 4 y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco de circunferencia que al cortar la la circunferencia nos determina las divisiones 5 y 6.

3. Hacemos la misma operación en la división 1, obteniéndose las divisiones 5 y 6.

4. Repetimos la operación con las divisiones 2 y 3, obteniendo las divisiones 9, 10, 11 y 12.

   

 9 . Método general de división de una circunferencia en cualquier número de partes iguales.

    El método general es un método prácticvo en el sentido de que solo habría que memorizar este método para hacer cualquier división, pero no es un método exacto, sino aproximado.

    A continuación ofrecemos un ejemplo pra dividir en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Dividimos el dámetro vertical AB en tantas partes iguales como querramos dividir la circunferencia. En este caso hemos escogido siete partes, con el objeto de dibujar luego un heptágono regular.

3. Con centro en el extremo A del diámetro AB, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a dicho diámetro. Prolongamos también el diámetro CD. Dicho arco cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto E.

4. Trazamos una recta que pase por el punto E y por la segunda división que hemos hecho al diámetro AB. Siempre se escoge la segunda división sea cual sea el número de partes iguales con que querramos dividir la circunferencia. Dicha recta cortará a la circunferencia en un punto que será la séptima parte.

PARA TERMINAR.

 Se puede descargar una hoja con los dibujos de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 en este enlace:

https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD 

 Se puede descargar una hoja con los ejercicico 5, 6, 7 y 8 en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1K1QQEgQSyYsdaRipNklGQdSlF1L6Cpbd/view?usp=sharing 

Ángulos en la circunferencia y arco capaz de un ángulo respecto a un segmento.

A continuación ofrecemos lo básico que hay que saber sobre ángulos en una circunferencia. Esta "chuleta" viene muy bien para entender la resolución del arco capaz de un ángulo para un segmento dado.

Para visualizar los vídeos en donde se explica la hoja anterior así como el concepto de arco capaz y su construcción ofrecemos este enlace: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHOr8AP9PMl5wX2Cnc7sXNNxhW4g1PYLP

Teoría y problemas de potencia de un punto respecto a una circunferencia, ejes y centro radicales. Aplicación a problemas de tangencias. 2º de Bachillerato.

A continuación mostramos la teoría que nos hace falta saber y unos cuantos problemas redactados sobre:

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Eje radical de dos circunferencias.
Centro  radical de tres circunferencias.
Problemas de tangencias en donde hay que aplicar como instrumento de resolución el eje y el centro radical.

Esta hoja de teoría se puede descargar en formato PDF en le siguiente enlace
https://drive.google.com/file/d/1odsFnsWs8PaSljuuxlK7k9MP55VVqoNc/view?usp=sharing

Los vídeos explicativos están en los siguientes enlaces:

Tangencias introducción: https://youtu.be/GAY10DZa-64

 Potencia de un punto respecto a una circunferencia: https://youtu.be/4qtsBjo7jXc

 Eje radical de dos circunferencias: https://youtu.be/ZmmXD5IvxJc

Centro radical de tres circunferencias: https://youtu.be/oXiXfVvmp24

 

A continuación pasamos a mostrar las soluciones de cuatro ejercicios de tangencias en donde se emplean los conceptos de eje y centro radical:

1. Hallar las posibles circunferencias tangentes a una circunferencia de centro O y a una recta S,m conocido un punto de tangenta T en la recta.

 El vídeo de explicación se encuentra en este enlace: https://youtu.be/_n1AGgKq5BI

2. Hallar las posibles circunferencias tangentes a una circunferencia de cenro O y una recta S, conocido un punto de tangencia T en la circunferencia.

El vídeo con la explicación se encuentra en este enlace: https://youtu.be/hBftVp8_02o

3. Hallar las posibles circunferencias tangentes comunes a dos rectas que se cortan y que pasen por un punto P.

El vídeo con la explicación se encuentra en este enlace: https://youtu.be/-h0Yzn3ON1I


 4. Hallar las posibles circunferencias tangentes comunes a otras dos, de centro O1 y O1, conocido un punto de tangemcia T en una de ellas.

  El vídeo con la explicación se encuentra en este enlace: https://youtu.be/mklWSTCs15o

5. Falta un quinto problema : hallar las posibles circunferencias tangentes a otr y que pasen por dos puntos dados.

 
La hoja con los ejercicios en blanco se puede descargar en este enlace: https://drive.google.com/file/d/19jz3FkOw9-PYEvc23ZcE96-PCnp94Quc/view?usp=sharing

Ofrecemos además los siguientes problemas redactados de ejes y centros radicales:

1º. Halla el eje radical de dos circunferencias tangentes en un punto. Radio de la circunferencia O1= 30mm, radio de la circunferencia O2= 20 mm. Distancia entre los centros O1 y O2= 35 mm. Compruebe como escogiendo un punto cualquiera P del eje radical, y hallando una recta tangente a una de las circunferencias desde el punto escogido P, la distancia desde el punto de tangencia al punto P es la misma en todas las tangentes trazadas desde el punto P a las circunferencias.

2º. Halla el eje radical de dos circunferencias exteriores. Radio de la circunferencia O1= 30mm, radio de la circunferencia O2= 20 mm. Distancia entre los centros O1 y O2= 70 mm.

3º. Halla el centro radical de tres circunferencias dadas. Radio de la circunferencia O1= 20mm, radio de la circunferencia O2= 30 mm, radio de la circunferencia O3= 35 mm . Distancia entre los centros O1 y O2= 50 m, distancia entre los centros O2 y O3= 70 mm, distancia entre los centros O1 y O3= 70 mm.