Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

  La circunferencia está llena de relaciones geométricas. Una de las más conocidas es la relación de proporción que se produce cuando irradiamos rectas secantes o tangentes a la cicunferencias desde un punto exterior.

   La explicación en vídeo la podemos obtener en este enlace, concretamente en el minuto 3,47: https://youtu.be/4qtsBjo7jXc

  En la ilustración siguiente vemos cómo desde un punto exterior P a una circunferencia de centro O irradiamos una serie de rectas, dos secantes y una tangente a dicha circunferencia, de tal forma que podemos obtener una serie de segmentos que llamaremos PA, PB, PC, PD, PT.

  Pues bien; el producto de los segmentos que se obtienen siempre es constante. A ese valor constante, que llamaremos K, es lo que se denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia de centro O. De tal forma que el producto de los dos sementos PA x PB es el mismo que el producto de los dos segmentos PC x PD, e igual al producto de PT x PT (T se consideraría un segmento infinitamente pequeño), y de los infinitos segmentos que surjan de irradiar rectas desde el punto P y que corten a la circunferencia dada.

  Si unimos los puntos A y D mediante un segmento y los puntos C y B mediante otro segmento obtenemos las siguientes relaciones, tal como se muestra en la ilustración:

- Los ángulos que se forman alfa 1 y alfa 2  están inscritos en la circunferencia y los dos abarcan el mismo segmento BD (cuerda BD), luego los dos son iguales a la mitad del ángulo central. Llegamos, pues a la conclusión de que los dos ángulos son iguales. Recordemos que todo ángulo inscrito en una circunferencia  es la mitad del angulo central de una circunferencia si los  ángulos abarcan un mismo segmento, así como dicho ángulo central. La demostración de este postulado lo explicamos esquemáticamente en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/2016/05/angulos-en-la-circunferencia.html


- Por el mismo razonamiento, los ángulos beta 1 y beta 2 también son iguales.

- Los ángulos gamma 1 y gamma 2 son iguales también, pues son ángulos opuestos por el vértice.

- Es evidente, entonces, que los triángulos formados por dichos ángulos son semejantes. Tienen la misma forma pero diferente tamaño. Son proporcionales.

- Los triángulos PBC y PDA también son semejantes, pues comparten un mismo ángulo (el omega del vértice común P) y los ángulos beta 1 y beta 2 miden lo mismo.

- Si son semejantes, podemos establecer la siguiente relación de proporción:  PA / PD = PC / PB, luego PA x PB = PC x PD.

- PT viene comprendido por una recta tangente a la circunferencia . La sección producida, pues, se puede concebir como infinitamente pequeña, de tal foma que el punto T es un punto doble, es como un segmento infinitamente pequeño en que sus extremos coinciden, luego:

                                                                                                                               

 PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT al cuadrado.

- De esta relación de proporción se deduce también que el segmento PT es media proporcional entre los segmentos PA y PB o PC y PD. Luego estamos ante un método gráfico muy adecuado para calcular medias proporcionales entre dos segmentos dados.

Es de interés destacar que lo ocurrido  con el segmento PT es clave para la resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias basados en ejes y centros radicales. Dichos problemas se fundamentan en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/search?q=radical