T 11. División de una circunferencia en partes iguales (polígonos regulares).

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES.
(Obtención de polígonos regulares conocida la circunferencia que los circunscribe)

   
   Esta entrada sobre división de una circunferencia vale para todos los niveles de ESO y de bachillerato. Para cada nivel se exigirá un problema u otro en clase.

   Introducción.

   La definición más típica de circunferencia es la curva cerrada y plana en la que todos sus puntos mantienen una misma distancia respecto a un punto llamado centro.

 

  Los elementos más significativos de una circunferencia, tal como vemos en la imagen inferior, son:

1. El centro de la circunferencia. Se suele designar con la letra O.

2. El radio: es la distancia que existe desde un punto cualquiera de la circunferencia al centro O.

3. El diámetro: es el segmento que pasa por el centro y que abarca dos puntos de la circunferencia. Mide el doble magnitud que el radio.

4. Cuerda. Cualquier segmento que abarque dos puntos de la circunferencia.

5. Arco: cualquier porción de circunferencia. En el caso de la imagen inferior,el arco que abarca los puntos a y b.

  
 La división de una circunferencia en partes iguales resulta muy útil, pues es un buen instrumento para la construcción de polígonos regulares entre otras formas geométricas, ya que podemos obtenerlos uniendo las divisiones de la circunferencia con segmentos, siendo estos cuerdas de la circunferencia, los cuales serían los lados del polígno buscado. Mostramos a continuación un ejemplo con la división en 12 partes iguales de una circunferencia. Obtendríamos así un dodecágono regular.

   A continuación vamos a tratar de la división de la circunferencia en un número determinado de partes iguales.

   1. División de una circunferencia en tres y seis partes iguales.

1. Trazamos un diámetro vertical AB.

2. Con centro en el extremo B y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco , que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Tendremos así los puntos A, C y D quedando ya dividida la circunferencia en tres partes iguales. Uniendo dichos puntos tendríamos un triángulo equilátero.

3. Repetimos la misma operación con centro en el punto A, y obtenemos los puntos E y F.

4. Los puntos A,B,C,D,E y F son las divisiones de la circunferencia 1,2, 3, 4, 5, y 6. Uniendo todos los puntos con segmentos, obtendríamos un hexágono regular.

   2. División de una circunferencia en cuatro y ocho partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular al anterior, CD. Tendremos ya dividida la circunferencia en cuatro partes iguales, A,B,C y D. Uniendo dichos puntos con segmentos obtendríamos un cuadrado.
    Trazamos a continuación la bisectriz al cuadrante (ángulo recto) COB, con el fin de dividir por la mitad el arco BC. Obtendremos así el punto E. Si unimos el punto E con el centro O y prolongamos la unión, obtendremos F, punto que divide al arco AD en dos partes iguales también.

3. Hacemos la misma operación con el arco CA para obtener las divisones G y H. Hemos pasado, pues, de cuatro divisiones a ocho divisiones.

4. Lospuntos A,B,C,D,E.F,G y H son las ocho divisiones iguales de la circunferencia. Si los unimos con segementos obtendríamos un octógono regular.

   3. División de una circunferencia en cinco partes iguales.

1. Trazaremos  un diámetro preferentemente horizontal, AB.

2. Trazamos un diámetro perpendicular al primero. Y trazamos la mediatriz del radio OB que nos sale, con el fin de hallar M, punto centro de ese radio.

3. Con centro en M y radio MC, trazamos un arco de circunferencia hasta obtener el punto D en el diámetro.

4. La distancia CD es justo una quinta parte de la circunferencia. Si hacemos centro con el compás en el punto C, que será el punto 1, llevamos esa cantidad de 1/5 y la repartimos por la circunferencia, esta quedará dividida en cinco partes exactamente iguales y podremos construir, uniendo las divisiones con segmentos, un pentágono regular.

   4. División de una circunferencia en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

3. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos E y F.

4. Al unir los punto E y F, obtendremos un segmento que cortará al diámetro horizontal en el punto G. La distancia G E, es justo un séptimo de la circunferencia. Basta que comencemos a llevarnos dicha distancia desde el punto C (que será el punto 1) para que se divida la circunferencia en siete partes iguales. Si unimos las divisiones con segmentos, obtendríamos un heptágono regular.

  5. División de una circunferencia en nueve partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto C y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en un punto que llamaremos E. 
3. Ahora, con centro en el otro extremo D del diámetro vertical y  radio igual a  DE trazaremos otro arco que nos cortará a la prolongación del diámetro horizontal AB en un punto que llamaremos F.

4.  Con centro en el punto F y radio FC, trazamos nuevamente otro arco de circunferencia, el cual cortará al diámetro AB en el punto G. La distancia AG es justo la novena parte de la circunferencia. Basta repetir nueve veces la cantidad para que nos quede dividida la circunferencia en nueve partes iguales.

6. División de una circunferencia en diez partes iguales.

 

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos que llamaremos E y F. La recta que pasa por esos puntos es la mediatriz del radio y lo dividirá en el punto M.
3.  Con centro en el punto M y radio MC trazamos un arco de circunferencia que cortará al diámetro AB en un punto (no viene nombrado).
4. la distancia entre ese punto y el centro de la circunferencia es la décima parte. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividida en diez partes iguales.



7. División de una circunferencia en once partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Con centro en el extremo A del diámetro AB y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que cortará a esta en el punto F.
3. Con centro en el extremo D del diámetro CD trazaremos otro arco de igual radio que el de la circunferencia, el cual cortará a esta  en el punto E.
4. Con centro en el punto E y radio igual a EF trazaremos un arco de circunferencia que cortará al diámetro CD en el punto G. La distancia entre el punto F y el punto G es justo un onceavo de la circunferencia. No se ha dibujado el segmento para que se vea claro el dibujo. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividiva en once partes iguales.



 8. División de una circunferencia en doce partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal de extremos 1 y 2. Trazamos otro perpendicular (vertical) de extremos 2 y 4. (Los hemos nombrado con números porque ya son divisiones de la circunferencia).

2.  Con centro en la división 4 y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco de circunferencia que al cortar la la circunferencia nos determina las divisiones 5 y 6.

3. Hacemos la misma operación en la división 1, obteniéndose las divisiones 5 y 6.

4. Repetimos la operación con las divisiones 2 y 3, obteniendo las divisiones 9, 10, 11 y 12.

   

 9 . Método general de división de una circunferencia en cualquier número de partes iguales.

    El método general es un método prácticvo en el sentido de que solo habría que memorizar este método para hacer cualquier división, pero no es un método exacto, sino aproximado.

    A continuación ofrecemos un ejemplo pra dividir en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Dividimos el dámetro vertical AB en tantas partes iguales como querramos dividir la circunferencia. En este caso hemos escogido siete partes, con el objeto de dibujar luego un heptágono regular.

3. Con centro en el extremo A del diámetro AB, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a dicho diámetro. Prolongamos también el diámetro CD. Dicho arco cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto E.

4. Trazamos una recta que pase por el punto E y por la segunda división que hemos hecho al diámetro AB. Siempre se escoge la segunda división sea cual sea el número de partes iguales con que querramos dividir la circunferencia. Dicha recta cortará a la circunferencia en un punto que será la séptima parte.

PARA TERMINAR.

 Se puede descargar una hoja con los dibujos de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 en este enlace:

https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD 

 Se puede descargar una hoja con los ejercicico 5, 6, 7 y 8 en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1K1QQEgQSyYsdaRipNklGQdSlF1L6Cpbd/view?usp=sharing