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domingo, 29 de septiembre de 2019

T 20. EL COLOR.




     1. Definición de color.

El color es la sensación percibida por nuestros órganos visuales como consecuencia de la incidencia de la luz sobre los objetos. Para entender bien esta definición tendremos, en un principio que leer los apartados 2 y 3 que viene a continuación.

   2. El espectro cromático.

   La luz del sol es blanca, y se puede descomponer con un simple prisma cristalino en diferentes luces de colores. Esta descomposición recibe el nombre de espectro cromático. En la imagen inferior se muestra la descomposición de la luz blanca, donde aparecen los colores que podemos ver y los que ya no podemos ver, como es el infrarrojo y el ultrvioleta.



   Dicho espectro también se percibe muy bien en el arco iris o en los reflejos que nos da una superficie brillante, como podría ser un CD o una superficie metalizada. Este fenómeno recibe el nombre de iridiscencia. Mostramos dos ejemplos a continuación.

torsmedberg. Pixabay CCO




   3. ¿Por qué vemos un objeto de un color determinado?

   La superficie de los objetos, al ser iluminados, absorbe parte de los colores que componen la luz blanca y refleja (rechaza) otros. Esta luz reflejada es la que percibimos. 






   La superficie de un objeto refleja un color u otro en función de su composición química o de la composición química con la que haya sido pintada su superficie. 


   4. El color en los pigmentos.

  Existen diversas sustancias químicas que tienen mucho poder de absorción de determinados colores de la luz blanca y mucho poder de reflexión de un determinado color. El que los nombres de muchos pigmentos sean, por ejemplo, blanco de zinc, rojo de cadmio, óxido de hierro, azul de cobalto, verde de cromo es un indicador.

Estas sustancias se muelen a reducirse a polvo y reciben el nombre de pigmentos, y están contenidos en los lápices de colores y todo tipo de pinturas y tintas. En función del medio en que se mezclen (el aglutinante) derivan en una técnica pictórica u otra. Por ejemplo, aglutinados con aceite de linaza se obtiene la pintura al óleo, con goma arábiga se obtiene la acuarela, con goma de tragacanto se obtiene el pastel, con cola (animal o sintética) el temple a la cola, con cera o parafina obtenemos los lápices y barras de cera, con huevo se obtiene el temple al huevo, con carbonato cálcico obtenemos las tizas de colores.

 

Fatima Valer . Pixabay. CCO


    5. Cualidades de un color

    Las cualidades de un color son las características empleadas para poder identificar y nombrar un color. Son tres:

   Tono: es el propio nombre del color. Decir “tono” es lo mismo que decir “color”. Por ejemplo: “tono naranja, tono verde, tono azul violáceo”.

   En la imagen inferior presentamos toda una banda de tonos en donde se muestran tonos naranjas, amarillos, amarillos verdosos, verdes, azules, violetas...




   Valor: es el grado de aproximación al blanco de un color. Cuanto más claro más valor tiene. Cuanto más oscuro menos valor tendrá.

   En la imagen inferior vemos tres bandas con tres tonos: azul, rojo y verde. Los tonos tienen más valor conforme miramos hacia la izquierda y menos cuanto más se aproximan a la derecha.



   Saturación: es el grado de pureza de un color. Si queremos pensar en el tono rojo más saturado debemos pensar en “el más rojo”

   En la imagen inferior, es evidente que de los cinco rojos existentes, "el más rojo", el más saturado es el que está ubicado en medio.




   Veamos esta gama de lápices y preguntémonos lo siguiente:


 ¿Cuál es el violeta con menos valor? ¿Cuál es verde con más valor?
 ¿Cuál es el más azul (el más saturado)? ¿Cuál es el tono con menos valor? ¿CUál es el tono con más valor?


   6. Mezclas de color: síntesis.

   Existe una gama infinita de colores si los mezclamos entre sí, pero existen tres colores que son fundamentales y que no se pueden obtener mezclando y que al mezclarlos entre sí dan lugar a todos los demás. Estos colores se denominan colores primarios. Dichos colores primarios serán unos u otros en función del tipo de síntesis, es decir, de mezclas.

   Hay dos tipos de mezclas, en función de si trabajamos con pigmentos o si trabajamos con fuentes de luz de diferentes colores: las mezclas sustractivas y las mezclas aditivas.

   6.1 Las mezclas sustractivas (síntesis sustractiva).




   - Son las que se obtienen trabajando con pigmentos, por ejemplo, con las témperas o los lápices de colores.

   - Se llaman sustractivas porque se sustrae luz al mezclar, es decir, el color que resulta de la mezcla siempre es menos luminoso (tiene menos valor) que los primarios que se han usado.

   - En estas mezclas, los colores primarios son el rojo magenta, el azul cian y el amarillo.

  - Mezclando dos colores primarios obtendremos un color secundario.




   6.2 Las mezclas aditivas (síntesis aditiva).

OpenClipart-Vectors. Pixabay


   - Son las que se obtienen con fuentes de luz con los colores primarios-luz.

   - Al mezclar las luces primarias, añadimos luz y el color resultante es más luminoso. Por eso se llaman mezclas aditivas.

   - En estas mezclas, los colores primarios son el rojo anaranjado, el verde y el violeta azulado.



    7. El círculo cromático.

    El círculo cromático es una representación ordenada y circular de los colores de acuerdo con su tono, en donde se representa a los colores primarios y sus derivados secundarios. Los colores primarios se colocan equidistantes. De las diferentes proporciones que se pueden usar para mezclar los primarios salen toda una gama de secundarios que se colocan de manera ordenada y progresiva.

Ofrecemos imágenes de diferentes círculos cromáticos. Uno de doce tonos saturados y otro de doce tonos con anillos concéntricos de mayor a menor valor.

janeb13. Pixabay. CCO






    8. Combinaciones de color: las gamas cromáticas.

    Los colores se pueden combinar de muchas formas con el fin de obtener un resultado visual concreto. Vamos a ver ahora cuales son las combinaciones más usadas.  

   8.1. Combinaciones armónicas.

   Una combinación es armónica cuando los colores se parecen entre sí. Cuando tienen algo en común todos ellos. Vamos a tratar las tres combinaciones armónicas más empleadas.

   8.1.1. Combinaciones armónicas monocromáticas.


   Son las que establecen a base de seleccionar un color y añadirle blanco o negro, alterando su valor.

  Si observamos la imagen inferior veremos una gama monocramática conseguida con un verde que se ha aclarado u oscurecido, generando toda una gama de verdes.




    En la imagen inferior vemos un paisaje en donde se ve una gama monocromática de azules.
 
Free-Photos. Pixabay

   Colocamos otra imagen del uso de las gamas monocromáticas en el diseño. En este caso para diseñar la portada de un simple cuaderno.




   8.1.2. Combinaciones armónicas acromáticas.

   Son las que establecen a base de trabajar con el negro, que señalemos, no es un color, el blanco y toda la gama de grises que pueden surgir.



  Una fotografía en blanco y negro es una composición en donde se aplica esta gama acromática, pues solo hay negros, blancos y diferentes grises. 



   8.1.3. Combinaciones armónicas por temperatura.

   Se obtienen por colores cercanos al azul o al rojo anaranjado en el círculo cromático. Las tenemos de gama fría y de gama cálida.

   Se distinguen fácilmente si establecemos una línea de separación en el círculo cromático entre el amarillo y amarillo verdoso y el violeta y rojo violáceo.



   8.1.3.1. De gama fría.

   Tendremos una gama fría si usamos tonos cercanos a la zona azulada.

   Un ejemplo lo tenemos en esta imagen; un diseño modular resuelto con gama fría resuelto por una alumna.




    8.1.3.1. De gama cálida.

  Tendremos una gama cálida  si usamos tonos cercanos a la zonadel rojo anaranjado.

   Mostramos un ejemplo con una fotografía ejecutada en el momento de la puesta de sol.

Imagen de Johannes Plenio en Pixabay


   8.2. Combinaciones por contraste.

   En una combinación por contraste los colores se oponen porque no tienen nada en común, de tal forma que contrastan el uno al lado del otro.
La más común es la del contraste por colores complementarios.

  Los colores complementarios son los opuestos en el círculo cromático, como podemos apreciar en la siguiente imagen.




   Vemos que el opuesto al amarillo es el violeta.
   Vemos que el opuesto al magenta es el verde.
   Vemos que el opuesto al verde amarillento es el rojo violáceo.

   Un ejemplo muy bueno lo tenemos en esta imagen. Fijémonos bien cómo se destacan muy las amapolas rojas en un campo verde, puesto que el verde y el rojo son complementarios, contrastando mucho entre sí.

Imagen de Peter Dargatz en Pixabay





   9. Simbología del color.

  

   Existe una serie de sensaciones y emociones asociadas al color, he aquí algunos ejemplos: 


   El rojo activa, excita y da la sensación de aumentar el tamaño de los objetos que poseen ese color.


   El amarillo se asocia a la luz, la alegría, produce expansión en los objetos que lo llevan.


   El azul relaja y si es oscuro da la sensación de disminuir el tamaño de los objetos que lo llevan.


   El verde se sitúa en posición media entre el azul y el amarillo, luego funciona como el gris entre el blanco y el negro, como un color neutro.


   El color puede simbolizar muchas cosas  según la cultura que se trate:


   El blanco en nuestra sociedad se asocia a la pureza, mientras que en China es símbolo de luto.


   El rojo se asocia a la furia, al peligro, la agresión, lo apasionado, lo amoroso.


  El negro en nuestra sociedad es símbolo de luto, seriedad y sobriedad, de negación y pesimismo.


   El azul, se relaciona con el color del cielo, el agua, el mar y evoca sensaciones de espacio, lejanía, limpieza.


  El violeta: siempre se le relacionado con la riqueza, la suntuosidad, la penitencia y el silencio.


    El verde se asocia con la esperanza, la carencia de peligro, la frescura, la primavera y el medio ambiente.


    Los colores están también muy presentes en la comunicación y en nuestro entorno y se emplea continuamente ya que funcionan como elemento de apoyo y refuerzo a la comunicación que se pretende conseguir. Mostramos algunos ejemplos:


    En las señales de tráfico el rojo se emplea para las señales de peligro.


   Los tonos azules se emplean mucho en la configuración de logotipos de empresas de viaje y hoteles marítimos, y no digamos como color dominante en anuncios televisivos con intención de comunicar higiene y limpieza: detergentes, lavavajillas, compresas, antigripales...


     Fijaos en el plano del metro de Madrid y veréis como las líneas de metro están diferenciadas en diferentes tonos, fijaos también en los dibujos científicos: en los de anatomía la sangre venosa se representa con azul y la arterial con roja. Codificar con colores diferentes aspectos de una imagen “explicativa”aporta información y claridad en la función de esta. Pensad en los mapas políticos, de carreteras...



    El color en el trabajo es muy importante:


   En las aulas y en las oficinas los colores de las mesas, sillas, máquinas de escribir, paredes suelen de tonos suaves: verdes claros, grises... Nunca serán de tonos saturados ya que estos generan cansancio visual y como consecuencia, cansancio físico y en algunos casos agresividad.


    Se ha demostrado que hay determinados colores que influyen en la actividad del sistema digestivo, sobre todo los anaranjados (¿por qué la mayoría de la hamburgueserías tienen estos colores en su interior?). La disciplinas que estudian estos fenómenos son la ergonomía en el mundo del trabajo y la cromoterapia en medicina.



    Podríamos seguir con una innumerable cantidad de ejemplos.



   A continuación mostramos dos trabajos de alumnos en donde se expresa de forma sintética el uso del color de forma simbólica.




CONTESTA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS.

1. Definición de color.
2. ¿Qué es el espectro cromático?
3. Pon un ejemplo concreto en donde se perciba una iridiscencia.
4. Explica por qué vemos un objeto de un color determinado.
5. ¿Qué son los pigmentos?
6. ¿Cuales son las cualidades de un color?
7. ¿Qué es tono?
8. ¿Qué es valor de un color?
9. ¿Qué es saturación de un color?
10. ¿Qué son las mezclas sustractivas y cómo se obtienen?
11. ¿Qué son las mezclas aditivas y cómo se obtienen?
12. ¿Qué son los colores primarios?
13. ¿Cuáles son los colores primarios en una mezcla aditiva? 14. ¿Cuáles son los colores primarios en una mezcla sustractiva?
15. ¿Qué es el círculo cromático? 
16. ¿Cuándo obtenemos una combinación o gama armónica?
17. ¿Qué son las gamas monocromáticas?
18. ¿Qué son las gamas acromáticas?
19. Escribe un ejemplo concreto de un dibujo o imagen resuelta con una gama acromática. 
20. ¿A qué llamamos combinación armónica por temperatura? 
21. ¿Cuándo obtenemos una gama fría? 
22. ¿Cuándo obtenemos una gama cálida?
23. ¿A qué llamamos colores complementarios?
24. El uso de colore complementarios ¿qué tipo de combinación nos da?
25. ¿Cuál es el color complementario del violeta?
26. ¿Cuál es el color complementario del verde?
27.  ¿Cuál es el color complementario del azul cián?
28. Escribe un ejemplo concreto en donde se emplee un color determinado de forma simbólica? 

domingo, 28 de enero de 2018

T 23. INTERRELACIONES DE FORMAS PLANAS. APLICACIONES EN EL DISEÑO Y EN AL ARTE ABSTRACTO.

Pintura abstracta de Wassily Kandinsky titulada Composición VIII (1923). Dominio Público.



    Recordemos que para sugerir  volumen y espacio a través de un dibujo se pueden emplear varios procedimientos, como son las perspectivas, tanto lineal como aérea, el tamaño o el claroscuro.

                  Pero,

¿Y si trabajamos solamente con formas planas?


   Recordemos que una forma plana no tiene volumen, solo representa dos dimensiones del espacio. Parece pues, algo complicado  trabajar con ellas si  queremos sugerir en la imagen que vayamos a producir un efecto de espacio más allá de las dos dimensiones.

   Uno de los recursos que más emplean los artistas y diseñadores para sugerir espacio y para componer de forma general usando solo formas planas es relacionarlas entre sí. Este recurso recibe el nombre de interrelación. Existen varias maneras de interrelacionarlas. Veamos las más utilizadas, especificando además las que sugieren sensación de espacio tridimensional, más allá de las dos dimensiones. Para hacerlo de forma sencilla  utilizaremos dos formas planas geométricas.


DISTANCIAMIENTO: las formas quedan separadas entre sí, aunque puedan estar muy cercanas. Este recurso combinado con el tamaño (más grande cerca, más pequeño,lejos) puede sugerir espacio.
 TOQUE: las formas se llegan a tocar, tienen un punto en común entre ellas.
UNIÓN: las formas quedan unidas, de tal manera que generan una única forma nueva.
SUPERPOSICIÓN: una de las formas se dibuja tal como se piensa que es completa y la otra se interrumpe. El efecto conseguido es que una de las formas parece que se superpone a la otra dejando que la otra se siga viendo reconocible.

La superposición es uno de los recursos más empleados para sugerir que hay espacio entre las formas, ya que denota que hay espacio entre las figuras en lo referente a la altura.








 SUSTRACCIÓN: cuando queda sugerida una forma invisible, generalmente del mismo color que el fondo del dibujo, al interaccionar con otra visible.




TRANSPARENCIA: la superposición se manifiesta como si fuesen formas transparentes.
Generalmente la zona común entre las dos formas  se trabaja con un color que es mezcla sustractiva de las dos. Aunque también se puede hacer el efecto con texturas, tal como se ve en la imagen inferior.
La transparencia es otro de los recursos más empleados para sugerir que hay espacio entre las formas.































PENETRACIÓN: la superposición es mutua en las formas, y también es un recurso empleado habitualmente para sugerir que hay espacio entre las formas.


INTERSECCIÓN: la zona correspondiente a la intersección (la común a las dos formas) cambia de color, textura, diferenciándose claramente como una nueva forma.












El recurso de interrelacionar formas planas se usa mucho en el diseño  y el arte. A continuación mostramos varios ejemplos.



El pictograma de la derecha empleado en las escaleras mecánicas es un caso claro de sustracción del fondo blanco que se "come" la figura para dibujar un perro.










El logotipo de lotería y apuestas es un caso claro de superposición de formas circulares.













(Imagen de dominio público)
En la imagen de la derecha mostramos un cartel en donde el tamaño, el valor y la superposición colaboran conjuntamente para sugerir profundidad.















 Un caso muy claro de intersección en el logotipo de la imagen de la derecha


















El arte abstracto.

 El arte abstracto es un estilo de expresión artística que no representa objetos reconocibles, prescindiendo de la figuración, es decir, de la representación de algo real. El resultado es una imagen distinta a la natural. Compone con colores, formas, líneas... Surge a comienzos del siglo XX y sigue vigente hasta hoy día.

 Definido lo que es este arte, no es de extrañar que en un cuadro abstracto las relaciones entre formas constituyen por sí mismo un recurso compositivo y una manera de expresar, es decir, un lenguaje expresivo.





 A la derecha mostramos una obra abstracta del artista Kazimir Malévich (De Kazimir Malévich Forbes, Feb. 2, 2009, Vol. 183, No. 2, p. 48, Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5829128)
Fijémonos como la superposición del cuadrado azul a la linea recta y esta a su vez al rectángulo negro es más que evidente. Observemos también cómo existe toque entre el rectángulo naranja y el negro y cómo el distanciamiento entre formas es lo que más abunda.






















La primera pintura abstracta de la historia fue una acuarela abstracta de un artista moscovita llamado Wassily Kandinsky. En la obra abstracta de Kandinsky aparecen las técnicas de interrelaciones de formas planas como todo un elemento expresivo.  El autor dató la obra en 1913. A la derecha: fotografía del artista (Anonymous. Wassily Kandinsky. c 1913. From Wassily Kandinsky (1913). Rückblicke. Berlin: Sturm Verlag. Dominio público.)

En el encabezamiento del tema  hemos colocado una obra suya.


En el siguiente enlace se muestra un conjunto de su obra.   http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/kandinsky/




El tema, algo más resumido esta vez,  se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1_L8OFAH1BvQYobE2HQlJgSszwy-opN7k

sábado, 16 de diciembre de 2017

T 11. División de una circunferencia en partes iguales (polígonos regulares).



DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES.
(Obtención de polígonos regulares conocida la circunferencia que los circunscribe)


   
   Esta entrada sobre división de una circunferencia vale para todos los niveles de ESO y de bachillerato. Para cada nivel se exigirá un problema u otro en clase.

   Introducción.

   La definición más típica de circunferencia es la curva cerrada y plana en la que todos sus puntos mantienen una misma distancia respecto a un punto llamado centro.
 
  Los elementos más significativos de una circunferencia, tal como vemos en la imagen inferior, son:


1. El centro de la circunferencia. Se suele designar con la letra O.
2. El radio: es la distancia que existe desde un punto cualquiera de la circunferencia al centro O.
3. El diámetro: es el segmento que pasa por el centro y que abarca dos puntos de la circunferencia. Mide el doble magnitud que el radio.
4. Cuerda. Cualquier segmento que abarque dos puntos de la circunferencia.
5. Arco: cualquier porción de circunferencia. En el caso de la imagen inferior,el arco que abarca los puntos a y b.




  
 La división de una circunferencia en partes iguales resulta muy útil, pues es un buen instrumento para la construcción de polígonos regulares entre otras formas geométricas, ya que podemos obtenerlos uniendo las divisiones de la circunferencia con segmentos, siendo estos cuerdas de la circunferencia, los cuales serían los lados del polígno buscado. Mostramos a continuación un ejemplo con la división en 12 partes iguales de una circunferencia. Obtendríamos así un dodecágono regular.


   A continuación vamos a tratar de la división de la circunferencia en un número determinado de partes iguales.



   1. División de una circunferencia en tres y seis partes iguales.



1. Trazamos un diámetro vertical AB.
2. Con centro en el extremo B y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco , que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Tendremos así los puntos A, C y D quedando ya dividida la circunferencia en tres partes iguales. Uniendo dichos puntos tendríamos un triángulo equilátero.
3. Repetimos la misma operación con centro en el punto A, y obtenemos los puntos E y F.
4. Los puntos A,B,C,D,E y F son las divisiones de la circunferencia 1,2, 3, 4, 5, y 6. Uniendo todos los puntos con segmentos, obtendríamos un hexágono regular.



   2. División de una circunferencia en cuatro y ocho partes iguales.



1. Trazamos un diámetro horizontal AB.
2. Trazamos otro perpendicular al anterior, CD. Tendremos ya dividida la circunferencia en cuatro partes iguales, A,B,C y D. Uniendo dichos puntos con segmentos obtendríamos un cuadrado.
    Trazamos a continuación la bisectriz al cuadrante (ángulo recto) COB, con el fin de dividir por la mitad el arco BC. Obtendremos así el punto E. Si unimos el punto E con el centro O y prolongamos la unión, obtendremos F, punto que divide al arco AD en dos partes iguales también.
3. Hacemos la misma operación con el arco CA para obtener las divisones G y H. Hemos pasado, pues, de cuatro divisiones a ocho divisiones.
4. Lospuntos A,B,C,D,E.F,G y H son las ocho divisiones iguales de la circunferencia. Si los unimos con segementos obtendríamos un octógono regular.







   3. División de una circunferencia en cinco partes iguales.


1. Trazaremos  un diámetro preferentemente horizontal, AB.
2. Trazamos un diámetro perpendicular al primero. Y trazamos la mediatriz del radio OB que nos sale, con el fin de hallar M, punto centro de ese radio.
3. Con centro en M y radio MC, trazamos un arco de circunferencia hasta obtener el punto D en el diámetro.
4. La distancia CD es justo una quinta parte de la circunferencia. Si hacemos centro con el compás en el punto C, que será el punto 1, llevamos esa cantidad de 1/5 y la repartimos por la circunferencia, esta quedará dividida en cinco partes exactamente iguales y podremos construir, uniendo las divisiones con segmentos, un pentágono regular.



   4. División de una circunferencia en siete partes iguales.


1. Trazamos un diámetro horizontal AB.
2. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
3. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos E y F.
4. Al unir los punto E y F, obtendremos un segmento que cortará al diámetro horizontal en el punto G. La distancia G E, es justo un séptimo de la circunferencia. Basta que comencemos a llevarnos dicha distancia desde el punto C (que será el punto 1) para que se divida la circunferencia en siete partes iguales. Si unimos las divisiones con segmentos, obtendríamos un heptágono regular.




  5. División de una circunferencia en nueve partes iguales.


1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Trazamos, con centro en el punto C y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en un punto que llamaremos E. 
3. Ahora, con centro en el otro extremo D del diámetro vertical y  radio igual a  DE trazaremos otro arco que nos cortará a la prolongación del diámetro horizontal AB en un punto que llamaremos F.
4.  Con centro en el punto F y radio FC, trazamos nuevamente otro arco de circunferencia, el cual cortará al diámetro AB en el punto G. La distancia AG es justo la novena parte de la circunferencia. Basta repetir nueve veces la cantidad para que nos quede dividida la circunferencia en nueve partes iguales.




6. División de una circunferencia en diez partes iguales.

 

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos que llamaremos E y F. La recta que pasa por esos puntos es la mediatriz del radio y lo dividirá en el punto M.
3.  Con centro en el punto M y radio MC trazamos un arco de circunferencia que cortará al diámetro AB en un punto (no viene nombrado).
4. la distancia entre ese punto y el centro de la circunferencia es la décima parte. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividida en diez partes iguales.



7. División de una circunferencia en once partes iguales.




1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Con centro en el extremo A del diámetro AB y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que cortará a esta en el punto F.
3. Con centro en el extremo D del diámetro CD trazaremos otro arco de igual radio que el de la circunferencia, el cual cortará a esta  en el punto E.
4. Con centro en el punto E y radio igual a EF trazaremos un arco de circunferencia que cortará al diámetro CD en el punto G. La distancia entre el punto F y el punto G es justo un onceavo de la circunferencia. No se ha dibujado el segmento para que se vea claro el dibujo. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividiva en once partes iguales.



 8. División de una circunferencia en doce partes iguales.


1. Trazamos un diámetro horizontal de extremos 1 y 2. Trazamos otro perpendicular (vertical) de extremos 2 y 4. (Los hemos nombrado con números porque ya son divisiones de la circunferencia).
2.  Con centro en la división 4 y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco de circunferencia que al cortar la la circunferencia nos determina las divisiones 5 y 6.
3. Hacemos la misma operación en la división 1, obteniéndose las divisiones 5 y 6.
4. Repetimos la operación con las divisiones 2 y 3, obteniendo las divisiones 9, 10, 11 y 12.
   

 9 . Método general de división de una circunferencia en cualquier número de partes iguales.

    El método general es un método prácticvo en el sentido de que solo habría que memorizar este método para hacer cualquier división, pero no es un método exacto, sino aproximado.

    A continuación ofrecemos un ejemplo pra dividir en siete partes iguales.



1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Dividimos el dámetro vertical AB en tantas partes iguales como querramos dividir la circunferencia. En este caso hemos escogido siete partes, con el objeto de dibujar luego un heptágono regular.
3. Con centro en el extremo A del diámetro AB, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a dicho diámetro. Prolongamos también el diámetro CD. Dicho arco cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto E.
4. Trazamos una recta que pase por el punto E y por la segunda división que hemos hecho al diámetro AB. Siempre se escoge la segunda división sea cual sea el número de partes iguales con que querramos dividir la circunferencia. Dicha recta cortará a la circunferencia en un punto que será la séptima parte.


PARA TERMINAR.

 Se puede descargar una hoja con los dibujos de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 en este enlace: