Ejercicios de homología y afinidad. 2º de Bachillerato

 1. Presentamos una hoja de ejercicios en blanco sobre ejercicios de homología y afinidad. Tiene especial interés el ejercicio nº 11.

2. Presentamos otro ejercicio. la segunda parte del ejercicio se muestra muy confusa y resolver esa confusión es un buen entrenamiento.

HOMOGRAFÍAS: VÍDEOS EXPLICATIVOS.

  A continuación se muestran enlaces con vídeos explicativos del tema de homografías.

 
Introducción al tema de homografías y clasificación de homografías: https://youtu.be/ZEjPrcIG77c

Identidad: https://youtu.be/qF-vZ20yd-c 

Traslación:  https://youtu.be/90FizKMwqbM 

Giro: https://youtu.be/xN2p8_2hYxg

Simetría central: https://youtu.be/0tmL6bIyg2g

Simetría axial:https://youtu.be/uny-XWIfwDE

Homotecia directa: https://youtu.be/7onnie7wmNc

Homotecia: más ejercicios: https://youtu.be/m2l05icPJd4

Homotecia inversa: https://youtu.be/3sqKT2XQDPA

Introducción y resolución plana de una homología: https://youtu.be/RvwTYulj0q4

Ejercicios de homología: https://youtu.be/UHJQmi4TdTg

Casos particulares de homolgía, en especial, la afinidad: https://youtu.be/ZL6yN7BnjFw

Obtención de una elipse por afinidad con la circunferencia: https://youtu.be/2Mj0633XOkM

 

Ejercicios de homografías, sobre simetría, traslación, giro y homotecia. 1º bachillerato.

     A continuación ofrecemos una hoja de ejercicios y a continuación una serie de ejercicios redactados sobre homografías planas (transformaciones). Debajo de la redacción hemos colocado la solución del problema.  Señalemos que si descargamos las imágenes es posible que no coincidan en sus medidas con los datos redactados debido al cambio de proporción en el escanea de las imágenes. De todas formas, lo importante es ver el procedimiento.

HOJA DE EJERCICIOS 1. 

Está resuelta a lápiz, de ahí que se vea poco con el escaneado.

El ejercicio en blanco se puede descargar en el siguinete enlace: https://drive.google.com/file/d/1vF74efoMaCWv640iGE2T6le9_f-FN54u/view?usp=sharing

 

HOJA DE EJERCICIOS 2. Sobre traslación y giro.

El ejercicio en blanco se puede descargar aquí: https://drive.google.com/file/d/15RbYHk5lqOAx4iW2eU6svoq4xUhpbEN_/view?usp=sharing

 

 

HOJA DE EJERCICIOS 3. Sobre simetrías central y axial.

El ejercicio en blanco se puede descargar aquí:https://drive.google.com/file/d/1yPhv5twOwI6wpdZS3qyioEneTfEQ8uFt/view?usp=sharing

 

 

 

HOJA DE EJERCICIOS 3. Sobre homotecia.

El ejercicio en blanco se puede descargar aquí:https://drive.google.com/file/d/1i_mg4u4f67LlTQHIYAUKny83JJ3MZ6Kf/view?usp=sharing

 

 

HOJA DE EJERCICOS 4. Sobre homotecias.

Ofrecemos la hoja en blanco y el problema resuelto.

 

 

HOJA DE EJERCICOS 5. Sobre homotecias.

Ofrecemos la hoja en blanco y el problema resuelto.

 

 

EJERCICIOS REDACTADOS.

1. SIMETRÍA AXIAL.
Construye un trapecio isósceles a escala 3/1, sabiendo que sus medidas a escala 1/1 son las siguentes: base mayor =15 mm, altura =8 mm, base menor = 9 mm.
Dibuja un trapecio simétrico al dado, usando como eje de simetría uno de los lados no básicos.

2. SIMETRÍA CENTRAL.
Dado un pentágono regular de lado 11 mm, dibújalo a escala 3/1, y dibuja otro pentágono simétrico al que has dibujado usando como centro de simetría uno de los vértices.

3. TRASLACIÓN.
Dado un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa, de 45 mm y el ángulo que forma esta con uno de sus catetos, 60 grados,, aplícale una traslación de 50 mm. La dirección de la traslación será la señalada por la altura correspondiente a la hipotenusa y su vértice opuesto.

4. SIMETRÍA AXIAL Y CENTRAL.
Dado un trapecio rectángulo del que conocemos las dos bases, de 55 y 40 mm, y la altura, de 35 mm, hallar:
a) Un trapecio simétrico, usando como eje de simetría la diagonal más corta.

b) Otro trapecio simétrico, usando como centro de simetría el vértice del ángulo más agudo.

5. TRASLACIÓN Y HOMOTECIA.
Trasalada 75 mm un rombo de diagonales 30 y 50 mm. Usa como dirección de la traslación la marcada por la diagonal menor. Aplícale luego al resultante un aumento al doble de tamaño, estando el centro de homotecia en el punto de corte de las dos diagonales.

 

 6. HOMOTECIA INVERSA.

 Conocido un triángulo de lados 20, 40 y 55 mm, aplícale una transformación por homotecia estando el centro O de esta en el ortocentro del triángulo. La razón de homtecia K será igual a -3/2.

Problemas de selectividad PAU Andalucía sobre homografías (transformaciones). 2º Bachillerato.

1. A continuación mostramos la resolución de un problema de selectividad de 2013, sobre simetrías axial y central combinados. Fijémos bien que como las simetriás axial y central son casos particulares de homología, el ejercicio viene enunciado con el título "HOMOLOGÍA".

 

2. Ofrecemos otro típico de homología:

3. Un problema de afinidad de la circunferencia mediante el uso del arco capaz, muy bueno para 2º de bachillerato. El ejercicio en blanco se puede descargar aquí: https://drive.google.com/file/d/1Sq8sK7Jw1B0XMsL2joapNgYbAgX09x25/view?usp=sharing

 

Ejercicio de homología afín (afinidad) de las PAU de Andalucía, de junio de 2024.

TA 23. La igualdad y la semejanza: traslación y homotecia. Primer ciclo de ESO.

   En este tema vamos a aprender a dibujar de forma sencilla y precisa formas iguales y formas semejantes. Pero primero veamos lo que en geometría se define como igualdad y como semejanza.

   
   IGUALDAD.

    Dos figuras son iguales cuando tienen igual forma e igual tamaño; cuando superpuestas coinciden en todos sus puntos.

   Si nos fijamos en los tres triángulos que vemos a continuación, veremos que son iguales, ya que si los superponemos uno encima del otro coincidirían en todos sus puntos.

   SEMEJANZA.

   Dos figuras son semejantes cuando tiene igual forma, pero diferente tamaño.

   Si nos fijamos en los dos triángulos, vemos que son exactamente iguales de forma, pero el de la derecha es de mayor tamaño que el de la izquierda.

  

 Vamos a ver ahora dos procedimientos: uno para hacer una figura igual a otra  y el otro para hacer una figura igual que otra, pero ampliada o reducida de tamaño.


LA IGUALDAD POR TRASLACIÓN.

    Se puede obtener una figura igual a otra sometiéndola a una transformación llamada traslación. La figura se traslada una determinada distancia y en una determinada dirección, usando rectas paralelas a la dirección que queremos. Para ello debemos elegir una dirección de traslación y una distancia. 

   El procedimiento consiste en trazar rectas paralelas a la dirección elegida por determinados puntos de la forma y colocar en dichas paralelas la distancia a la que queremos que sea trasladada. Al unir nuevamente los puntos obtenemos la nueva forma.



SEMEJANZA POR HOMOTECIA.

   Se puede obtener una figura semejante a otra sometiéndola a una transformación llamada homotecia. Las rectas que se usan ya no son paralelas, sino que convergen en un punto llamado centro de homotecia.
    Para ello debemos elegir un punto cualquiera, al cual se le suele llamar O (centro de homotecia). Se trazan rectas que partan de ese punto O y que pasen por determinados puntos de la figura. Colocamos un punto transformado al otro lado de la figura y trazamos paralelas por ese punto a las rectas de la primera figura, y repetiremos el mismo procedimiento punto por punto, los cuales nos servirán para resolver la figura.

   Para resolver este ejercicio debes tener muy bien estudiado cómo se trazan rectas paralelas con las escuadra y el cartabón. Si no lo manejas bien es imposible que te salga con éxito.

   Se puede descargar en PDF la ficha del tema de semejanza por homotecia e igualdad por traslación, así como una hoja de ejercicios. Estas fichas se pueden descargar en los siguientes enlaces:

https://drive.google.com/file/d/0B6Ekw_uQN39iQWtPYm5vZWU2Q1U/view?usp=share_link&resourcekey=0-iBAoG987aKdJbeX4xwizvQ

 
https://drive.google.com/file/d/0B6Ekw_uQN39iOTZNeW9VVmZSVU0/view?usp=share_link&resourcekey=0-rXfzZvAvf7PAvVIHiOyDLA


    AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.

    Actividad nº 1.
   Título: Traslación y homotecia.

   La actividad consiste en que en un formato de papel A/4 diseñes tu propia figura y hagas dos ejercicios:

  1º. En la parte superior de la lámina debes de aplicarle a tu figura una traslación.

   2º. En la parte inferior debes aplicarle a tu figura una homotecia.

   Las figuras inferior y superior pueden ser diferentes.

   Se aplicará color para destacar bien las formas.


  A continuación mostramos cómo se va a calificar el trabajo presentado.

Para el ejercicio de igualdad, usando una traslación de la figura:

- De 0 a 0,5 puntos, al encaje dentro del margen.
- De 0 a 0,5 puntos, a la limpieza del dibujo.
- De 0 a 0,5 puntos,, destinados a la originalidad de la figura.
- De 0 a 0,5 puntos, a trabajo con color.
- De 0 a 2 puntos destinados al trazado de la traslación. IMPORTANTE: si el procedimiento está incorrecto se puntuará como 0 este apartado.  1 punto se destinará a la diferencia de grosores entre las formas y las rectas paralelas que se trazn para la traslación. El otro punto irá destinado a la precisión del trazado.


Para el ejercicio de la semejanza:

- De 0 a 1 punto para el encaje del ejercicio dentro del marco del papel.
- De 0 a 0,5 punto para la oroginalidad de la forma.
- De 0 a 0,5 puntos para la limpieza del ejercicio.
- De 0 a 0,5 puntos para el trabajo a color con el lápiz.
- De 0 a 2,5 puntos para el trazado del dibujo. IMPORTANTE: si el procedimiento está incorrecto se puntuará como 0 este apartado.  1 punto se destinará a la diferencia de grosores entre las formas y las rectas paralelas que se trazn para la traslación. 1,5 puntos  irán destinado a la precisión del trazado.

Para el casillero:

- De 0 a 1 punto destinado a colocar la información en el casillero:  pautado correcto de 5 milḿetros con linea fina y letras mayúculas con bolígrafo para escribir el nombre y los dos apellidos, el título de la lámina (traslación y homotecia) , el curso y el grupo.


   
    Mostramos algunos trabajos de los alumnos.

    Actividad nº 2, complementaria, sobre simetrías, traslación y homotecia.


  Resuelve el ejercicio que aparece en la siguiente hoja, la cual te puedes descargar en este enlace: https://drive.google.com/file/d/1jDVZ3pkcE3k6sCMPzc5Q2etUe0jkWR-8/view?usp=sharing

Ejercicios de homología y afinidad. 1º de Bachillerato.

1. A continuación ofrecemos los enunciados gráficos de cuatro ejercicios. Dos de homología ( el 1 y el 2) y otros dos de homología afín, también llamados de afinidad ( ejercicios 3 y 4).

 

 

2. Un ejercicio muy interesante de homología y afinidad, en donde se pide resolver la figura homóloga de un cuadrilátero que viene dispuesto de una forma muy singular.

 El problema en blanco y la solución  se pueden descargar en formato pdf en el siguiente enlace. 

https://drive.google.com/file/d/12yvtJEbiO0vaCQ34oK_kWNGLcIBSTosw/view?usp=sharing

3. Un problema redactado de homología:

  Dado un triángulo de lados 95, 65 y 40 mm, hallar su triángulo homólogo sabiendo:
- Que el centro de homología O está en el ortocentro del triángulo.
- Que el eje de homología contiene los pies de las alturas correspondientes a los lados de 65 y 40 mm.
- Que el homólogo del vértice que tiene el ángulo obtuso dista 10mm del eje de homología.
- Habría dos soluciones. Se pide una sola; la que dé como resultado el dibujo más claro.

4. Una hoja con diferentes problemas de homología y afinidad. La hoja en blanco se puede descargar en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1xPSBY3TUtsa3KQ0_PubdnHCbbjgZVL2-/view?usp=sharing

 

 5. Un problema de homología y de afinidad en donde se hacen una serie de preguntas sobre qué queda o no queda invariante en las transfromaciones. El ejercicio en blanco se puede descargar en el siguinete enlace: https://drive.google.com/file/d/1uy_nyk36HIU11CAA93X2w_EJAALXCmb4/view?usp=sharing

 

 

Preguntas de teoría sobre el tema de homografías (transformaciones) y esquema sobre homografías particulares.

PREGUNTAS DE TEORÍA SOBRE EL TEMA DE HOMOGRAFÍAS (TRANSFORMACIONES)

1. ¿Qué resultado da siempre una determinada homografía?
2. Definición de homografía.
3. ¿Qué es una transformación isométrica?
4. ¿Qué es lo que varía (lo que queda transformado) en una traslación?
5. ¿Que es lo invariante (lo que se mantiene) en una traslación?
6. ¿Qué tipo de simetría nos da el resultado de haber girado una forma 180º?
7. ¿Qué transformación da como resultado una igualdad inversa?
8. Menciona una homografía que dé como resultado una transformación solamente isogonal, que no tenga por qué ser isométrica.
9. Menciona un tipo de homografía cuya transformación sea una semejanza.
10. ¿Qué es una transformación isogonal?
11. ¿Qué homografías nos puede dar una homotecia de razón 1?
12. Si en una homotecia inversa la razón es igual a -1 ¿qué tipo de homografía resulta también?
13. Si en una homotecia directa el centro de homotecia está en un lugar impropio (en el infinito) ¿qué tipo de homografía obtenemos también?
14. ¿Qué son dos formas planas perspectivas?
15. Definición de homología.
16. En una homología ¿cuál es la recta que se considera doble de puntos dobles?
17. En una simetría axial ¿cuál es la recta doble de puntos dobles?
18. En una simetría central ¿cuál es el único punto doble?
19. ¿Cuál es el resultado de aplicar dos traslaciones a una misma figura?
20. ¿Cuál es el resultado de aplicar dos homotecias a una misma figura?
21. Una homología de centro en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da?
22. Una homología con eje en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
23. Una afinidad con eje en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
24. Una homología con eje y centro en el infinito ¿qué tipo de transformación nos da también?
25. ¿A qué llamamos razón de homotecia?
26. Un giro con radio infinitamente grande ¿qué tipo de homografía nos da también?
27. Escribe las homografías que dan como resultado una transformación isométrica directa.
28. ¿Qué diferencia existe entre una homología y una homología afín (una afinidad)?
29. ¿Qué diferencia existe entre una homotecia directa y una homotecia inversa?
     
    Este esquema que presentamos ahora ayuda mucho a reflexionar sobre las preguntas.
    
    
    

    
    
    
     
    Las respuestas a estas preguntas se encuentran ocultas en este blog. Las puedes encontrar si en el buscador del blog pones las palabras adecuadas. Dichas palabras son un error de traducción cada vez intento irme al futuro.
    

    
    

Homología en secciones planas a superficies radiadas. Bachillerato

A continuación ofrecemos una ilustración muy buena que muestra la relación de homología entre una superficie prismática o piramidal el la sección plana producida por un plano que las corta. Existirá una relación de homología en la pirámide y de afinidad en el prisma. La sección plana es homóloga de la base de las superficies y el eje de homología es la recta intersección entre el plano secante y el plano que contiene la base (el plano horizontal).

TA 22. La simetría central. Primer ciclo de ESO.

 

 La simetría central se manifiesta en muchas formas naturales, en el diseño y en la ornamentación...

   Las características de la simetría central son las siguientes:

1. Tiene un punto centro de simetría (se le suele llamar O). 

2. Las rectas que unen los puntos simétricos son equidistantes al centro de simetría. 

3. El resultado de una simetría central son dos formas iguales pero de orientación contraria. Dicho resultado equivale también a un giro de 180º de una forma respecto a la otra.

¿Cómo se hace una simetría central?


  1. Se dibuja una forma. Para explicar el proceso hemos dibujado una forma poligonal sencilla, concretamente un triángulo.
    Colocamos también un punto centro de simetría donde nos convenga.






2. Por un vértice del triángulo, por ejemplo el a, trazamos una recta que pase por el centro O de simetría y nos llevamos la distancia que hay del punto a al centro O al otro lado dicho centro de simetría. Obtenemos así el punto a´, simétrico del punto a.












3. Hacemos la misma operación con los demás vértices. No se han dibujado los arcos de circunferencia para que no molesten en el dibujo. Obtenemos así los puntos b´y c´.








4. Unimos los puntos simétricos para obtener la forma resultante.

 Podemos descargarnos en PDF una hoja de ejercicios en el siguiente enlace:  https://drive.google.com/file/d/11bjIcp8CVRxDn4QE4V0bl5YPT08WKeAv/view?usp=sharing




AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.


Actividad nº 1.

Título de la actividad: ejercicio de simetría central.

    La actividad consiste en diseñar en un A/4 una figura poligonal que sea original, colocar un punto centro de simetría y averiguar su simétrica.

   Las figuras se deberán rellenar con color con el fin de que se vean mejor las formas.

   A continuación mostramos unos ejemplos de actividades resueltas por los alumnos.




Aquí tenéis un ejemplo de un buen ejercicio, bien encajado en el margen, bien trazado, bien trabajado con el lápiz de color, con una forma original.

Mostramos otro ejemplo, muy bueno para señalar que el centro de simetría se puede colocar arbitrariamente. Esta alumna decidió colocar el centro de simetría dentro de la figura. El efecto así obtenido es muy interesante y se suele emplear mucho para el diseño de logos y monogramas.

Los criterios de calificación los mostramos a continuación:

1. LIMPIEZA Y PRESENTACIÓN DEL TRABAJO: de 0 a 1 punto.
2. CORRECTO ENCAJE DE LA FIGURA, llenando bien el espacio dentro del margen: de 0 a 1 punto.
3. BUEN TRAZADO GEOMÉTRICO:

1. Hace bien el procedimiento: 2 puntos
2. Respeta los grosores de líneas. : 1 punto.
3. Todas la rectas que contienen a los puntos simétricos pasan con precisión por el centro O de simetría: 1 punto.

Para que se evalúen los punto 3.2 y 3.3 debe estar bien el 3.1. En todo caso, si no está del todo bien el apartado 3.1, la calificación en todo el apartado 3 no podrá superar los 1,5 puntos.

4. ORIGINALIDAD DE LA FORMA DISEÑADA: de 0 a dos puntos. Si la forma tiene la mayoría de los elementos paralelos o perpendiculares al eje no podrá puntuar más de 1 punto.
5. EMPLEO DEL COLOR: de 0 a 1 punto. El color debe estar aplicado con el lápiz de forma homogénea, cruzando el rayado para que no se note. No debe salirse el color de la forma .
6. PAUTADO DE 5 MM Y MAYÚSCULAS PARA COLOCAR LOS DATOS EN EL CASILLERO: de 0 a 1 punto. Las letras deben ocupar la altura total del pautado y no deben de dar la sensación de haberse escrito deprisa con estilo personal.

Enlaces con ejemplos muy buenos de transformaciones de formas planas en el diseño y en el arte.

 Un ejemplo muy bueno de transformaciones de formas planas en el diseño lo tenéis en este extraordinario blog educativo.


http://dibujemos.wordpress.com/category/diseno/

A continuación ofrecemos un enlace muy interesante sobre la aplicación de simetrías y demás relaciones geométricas en las artes aplicadas de la Alhambra de Granada.
https://www.xataka.com/especiales/paseo-matematico-alhambra-cuando-arte-se-basa-numeros?fbclid=IwAR3pWlhn80HfoiBbuuFNynuYlUB8YcGWc5oIdAj6DKq6MXBL_gSlonHj5VE

Ofrecemos también otro enlace de mucho interés
http://www.alhambra-patronato.es/elblogdelmuseo/index.php/geometria-matematica-alicatados/?fbclid=IwAR2UlHCLaJQfDymXdQ7AjopjEBxfeTFkP3z5q4fNLPzhpS0QTR6EHDXroqM