TB 41. Enlaces. 2º de ESO.

   Hemos visto con anterioridad el tema de tangencias y hemos resuelto problemas de circunferencias tangentes a rectas y circunferencias tangentes entre sí. En este tema veremos cómo las tangencias y los enlaces están estrechamenmte relacionados.

   Podemos definir enlace como  la unión armónica de dos o más líneas curvas o rectas y curvas entre sí, por medio de tangencias. 

   Los enlaces de líneas consisten pues en saber aplicar las tangencias, y constituyen la verdera aplicación de las tangencias para hacer cualquier diseño.

Enlace de dos arcos de circunferencia con otro arco de circunferencia

   Si nos fijamos bien en la imagen de la derecha, veremos que se ha buscado una circunferencia tangente a dos circunferencias exteriores. La circunferencia no se ha llegado a dibujar completa. Justo donde está el punto de tangencia es donde se estable el enlace de tres curvas, a saber: un fragmento (el que nos interese) de arco de la circunferencia de centro O1 con el arco de circunferencia de la circunferencia tangente de centro O y esta a su vez con un fragmento de la circunferencia O2. En muchos dibujos se suele sustituir la T de tangencia por la E de enlace.





   A continuación ofrecemos cuatro de los ejercicios explicados en el tema anterior sobre tangencias, con los enlaces que se derivan de las tangencias.

   Lo que empleamos como enlace se traza en línea gruesa (0,8 mm). Si nos fijamos bien sacaremos en conclusión lo siguiente:

- En el ejercicio nº 1 se ha dibujado una circunferencia y una recta tangentes entre sí,con el fin de enlazar un arco de circunferencia con una recta, obteniéndose así una figura en forma de “bastón”. El punto donde enlazan es justo el punto de tangencia T de la recta con la circunferencia.

- En el ejercicio nº 2 se ha obtenido un enlace entre dos arcos de circunferencia trazando en primer lugar dos circunferencias tangentes entre sí. Vemos como el punto de enlace coincide con el punto de tangencia T.

- En el ejercicio nº 3 se han trazado dos circunferencias tangentes comunes a una recta y a una circunferencia con el fin de conseguir un enlace entre recta con curva, curva con curva y curva con recta.

- En el ejercicio nº 4 se ha efectuado un enlaces de dos rectas con un arco de circunferencia hallando una circunferencia tangente común a dos rectas que se cortan. El efecto conseguido es el de “redondear” un ángulo.

   Una gran cantidad de objetos se diseñan basándose en las propiedades de las tangencias y enlaces. A la izquierda mostramos el diseño de un abridor. 

  AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.



   ACTIVIDAD Nº 1.

   Ahora vamos a realizar una actividad de aplicación de los problemas de tangencias para hacer enlaces. El título de la actividad es "junta aplicando enlaces". Para ello realizaremos la pieza que viene a continuación con las medidas según cotas. Se trata de la junta de culata de un motor de explosión.

   Si nos fijamos bien en ella nos daremos cuenta de que se ha diseñado enlazando curvas con rectas y curvas entre sí.  De izquierda a derecha sería:

- Enlazar una semicircunferencia de 20 mm de radio con dos rectas que quedan paralelas al eje de simetría de la junta.

- Enlazar las mencionadas rectas con una circunferencia de 80 mm de radio mediante arcos de 15 mm de radio.

- Enlazar laanterior circunferencia, de 80  con otra de 60 mm de radio, mediante arcos de circunferencia de 20 mm de radio.

    A continuación mostramos la solución dibujada en la pizarra. Como vemos, se aplican los problemas de tangencias para resolver los enlaces. Las líneas en color naranja en este caso son las líneas finas que quedan auxiliares, siendo los contornos de la figura lo que está en tiza blanca, que es lo que quedaría en línea gruesa. También se han nombrado todos los puntos centros de las circunferencias y todos los puntos de enlace.

   A continuación mostramos un dibujo de una alumna terminado.

   ACTIVIDAD Nº 2, COMPLEMENTARIA.

   Consiste en que apliques las  posibilidades que te da lo que hemos dado de tangencias y enlaces para diseñar una letra que sea original tuya, es decir, inventada por ti. El títula de la actividad es " Diseño de letra con el empleo de enlaces."

   El diseño de letras para la imprenta, llamado "tipografía" usa de forma habitual los enlaces de rectas con curvas y los enlaces de curvas entre sí para configurar las letras. Un ejemplo muy bueno de tipografía es el que ofrecemos a continuación. Es la conocida tipografía bauhaus de pricipios de siglo XX.

   El ejercicio no consiste en que copies una de estas letras, sino que diseñes la tuya propia.

Dominio público.

 Un ejemplo muy bueno de lo que se pide lo tienes en este estupendo blog de dibujo:

 http://luis-coloryforma.blogspot.com.es/2015/01/los-ultimos-ejercicios-de-tipografia-de.html




  ACTIVIDAD  Nº 3, COMPLEMENTARIA.

   Esta actividad es de ampliación.  El título de la actividad es " Diseño de circuito de velocidad con el empleo de enlaces".

   En la foto inferior se muestra un circuito de carreras. Como ves, el trazado de la carretera se diseña enlazando rectas con curvas y curvas entre sí.

   En un formato A/4 vas a hacer tu propio diseño de circuito de velocidad, dibujando rectas, ángulos y circunferencias que tendrás que enlazar.

   El ancho de la pista en el dibujo será de 10 mm y su equivalente en la realidad serán 10 metros. Aprovechamos para hacer la siguiente pregunta: ¿a qué escala vas a dibujar el circuito? A esa escala ¿ante qué circuito estaríamos? ¿Un circuito de fórmula 1 o un circuito de cars?

 

ACTIVIDAD Nº 4. 

Se titula " Análisis geométrico del símbolo de Appel". 

La imagen que se muestra en el siguiente enlace sirve de orientación

http://infogeometria.blogspot.com/2021/09/tangents-logos-i.html

ACTIVIDAD Nº 5. 

Se titula " Análisis geométrico del símbolo de Antena 3". Viene el procedimiento muy bien explicado en el siguiente enlace.

https://www.mongge.com/es/ejercicios/46571

   El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

 https://drive.google.com/open?id=19pNxJqhF_FuCZakGOsGSaIJYlPvV-zn3

Enlaces de interés para la realización de una ilusión óptica 3D de una escalera.

Un trabajo muy interesante como actividad complementaria.

A continuación ofrecemos tres vídeos diferentes sobre como obtener una sensación tridimensional de un dibujo en un plano de una escalera. El último es el que tiene más grado de realismo.

https://youtu.be/TSog73EDGLo

https://youtu.be/C-JXW5o4b1A

https://youtu.be/1ooRybOZlHY

TB 46. Realización de un stop motion. 1º y 2º ESO

  La técnica de cine o vídeo llamada "stop motion"  se basa  en aparentar el movimiento de objetos  que son estáticos  por medio de una serie de imágenes fotográficas fijas sucesivas llamadas fotogramas. Una vez expuestos a la velocidad de una proyección cinematográfica, dan la sensación de que se mueven naturalmente y por sí mismos. Estamos ante una forma de hacer cine o vídeo de animación parecido a los dibujos animados.

  Stop motion es el término anglosajón, y es el más empleado. Su nombre viene de considerar que realmente se parte de un estado de no animación, es decir, de algo que no se mueve, que está quieto. En español el término más acertado es  "animación fotograma por fotograma".

Escena de la película King Kong. Fuente Pixabay. CCO.https://pixabay.com/photo-394442/

  El stop motion se utiliza desde que se creó el cine, es decir, a comienzos delsiglo XX. Ejemplos conocidos los tenemos desde la película “King Kong” de 1933 a "El Imperio contraataca" de la saga de "La Guerra de las Galaxias" de 1980.

  Colocamos aquí un enlace para ver un fragmento de la película de King Kong, de 1933:  https://youtu.be/m2cUbp6Vkfs


  El stop motion se sigue usando en muchas ocasiones para hacer anuncios publicitarios. Mostramos a continuación uno de la marca de bolígrafos BIC:

https://youtu.be/M4Pd9Ke2jOM


  Las principales características del stop motion son las siguientes:


   Las figuras no son dibujadas o animadas por computadora. Generalmente suelen ser objetos reales fotografiados fotograma a fotograma, hasta crear una sensación de movimiento cuando se ven todos los fotogramas secuenciados a una cierta velocidad.  En la mayoría de las ocasiones los motivos son  objetos inanimados cotidianos como sillas, monedas, papel, juguetes con forma humana. A continuación mostramos un ejemplo de stop motion hecho simplemente con papeles en el siguiente enlace:

https://youtu.be/iZUojirTEgM

  Cuando se quiere hacer una filmación de mucha calidad, se filma a velocidad de cámara de cine; a veinticuatro fotogramas por segundo, para que el movimiento se vea continuo. Todo un clásico para conseguir este efecto es el uso de figuras hechas con plastilina, gracias a su maleabilidad. A continuación mostramos un ejemplo en el siguiente enlace:

https://youtu.be/1me6SQIYfX8

  AHORA NOS TOCA FILMAR A NOSOTROS


   ACTIVIDAD Nº 1.

   Se pide hacer un stop motion, utilizando un teléfono móvil y una aplicación que se puede descargar.

   El stop motion se puede realizar de dos formas:

1.  De un mínimo de 10 segundos de duración, a 10 fotogramas por segundo.

2. De un mínimo de 20 segundos de duración, a 5 fotogramas por segundo.

   El total mínimo, como vemos, es de 100 fotogramas.

   El archivo obtenido no debe ocupar  más de 25 megas, ya que si es mayor de 25 no se puede enviar por correo electrónico. Conviene asegurarse, no siendo mayor de 24 megas. La aplicación da la opción de guardarlo con menos resolución para evitar un archivo muy grande de tamaño.


   Conviene descargarse en el teléfono móvil esta aplicación que aparece en este enlace. https://play.google.com/store/apps/details?id=com.cateater.stopmotionstudio
   

   Es bastante intuitiva y se aprende a manejar rápido por el método "ensayo-error-ensayo-logro". Está muy bien porque es muy básica y se aprende rápido con ella, pero a veces da problemas a la hora de introducir sonido. Con el modo de grabación no lo suele recoger o estropea el vídeo y para incluir música aparece la opción, pero al final no sale. No es necesario meter sonido.

 

El proceso es el siguiente:

 

Buscamos en Play Store la aplicación: 

Veremos el icono del programa en el móvil.

Colocamos todos los elementos que queremos utilizar para hacer el stop motion.

 Abrimos la aplicación y pulsamos en "Nueva película"

Permitimos que la aplicación haga fotos y vídeos.

Se nos abre la aplicación, predispuesta a que hagamos el primer fotograma.

Hacemos los fotogramas pulsando en el botón rojo

 

Y vamos moviendo poco a poco los objetos haciendo un fotograma en cada movimiento.

Como vemos en este último fotograma, hemos hecho 50 fotos

Cuando le damos a reproducir nos sale la película y todos los fotgragmas por donde va acada imagen que se ve.

Cuando volvemos hacia atrás la película ya ha quedado archivada.

Si volvemos a abrir el archivo, el programa nos da varias opciones: cambiar el número de fotogramas por segundo, camarle los colores, etc.

Conviene guardar la pelíacula con la menor definición (la más baja ya es suficiente), con el fin de que el archivo tenga pocos megas y poderlo manadar incluso por correo electrónico, que es como se recomienda.

Se puede seleccionar nuevamente la película y compartirla de diferentes formas en "excportar película".

Incluso se le puede añadir algún tipo de audio o grabar directamente el sonido ambiente.

 Aquí se muestra un ejemplo al manadarlo por correo electrónico. Es muy importante que si se manda por correo, hay que identificarse.

 

Si el archivo ocupa más de 25 megabites se podrá dejar en un archivo habilitado por el profesor en una carpeta tipo Google Drive o similar. Se puede incluso compartir por Watshap. También se prodría usar la propia plataforma Classroom si está habiltada al efecto.

El resultado obtenido lo podemos ver en este enlace: https://youtu.be/hqNnizrV4Jc

 

Por otro lado hay otras aplicaciones que se pueden descargar, por ejemplo la que se nos ofrece en este vídeo ilustrativo: https://youtu.be/-YSvexfDQYk

  Conviene también saber cómo podemos hacer un trípode casero para fijar el teléfono móvil y que no se nos mueva. Hay muchos vídeos tutoriales por internet, como por ejemplo este que ponemos a continuación en el siguiente enlace.

https://youtu.be/B5lFb1XCTpE

  A continuación mostramos dos ejemplos de stop motion realizados por los alumnos:

https://drive.google.com/open?id=1X-NuQsQgOK2KOjmejbNpcmZqMnccJO5B

https://drive.google.com/open?id=15zYZ8SI6RbZ3cjpNCn1A3mO2T20PnHBr

TB 40. Tangencias. 2º ESO.

Imagen de la derecha bajo licencia CCO https://pixabay.com/photo-1031949/

   Las tangencias y los enlaces que se derivan de ellas son trazados geométricos presentes en numerosos diseños, en el dibujo técnico para la fabricación de objetos, en estructuras arquitectónicas y muchas formas decorativas.

    Primero abordaremos el tema de tangencias, explicando las propiedades fundamentales que las rigen, para luego hablar de lo que son los enlaces.

TANGENCIAS

 

   En primer lugar tenemos que decir que las tangencias son relaciones se dan principalmente entre circunferencias y rectas y circunferencias entre sí.


   Para comenzar vamos a ver las posibles posiciones que pueden haber entre una circunferencia y una recta.


   Tal como vemos en la ilustración inferior, hay tres posiciones posibles: que se corten, que no se corten o que compartan un punto es decir, "que se toquen", dicho groso modo. En este último caso decimos que la recta y la circunferencia son tangentes. El punto que teien en común se denomina punto de tangencia y se suele denominar con la letra T.

   HAY UNA PROPIEDAD FUNDAMENTAL QUE HAY QUE SABER:

   Entre recta y circunferencia tangentes, la recta tangente siempre es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
   

   Vista esta propiedad fundamental vamos a proponer varios ejercicios de trazados de tangencias entre circunferencias y rectas.

   PRIMER EJERCICIO. Dada una circunferencia , hallar una recta R que sea tangente por un punto T de la circunferencia. Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Tenemos la circunferencia de centro O y el punto T donde queremos pasar una recta tangente.
2. Trazamos un radio desde O hasta el punto de tangencia T.
3. Colocamos la escuadra o el cartabón con la intención de trazar un ángulo de 90º, siendo uno de los lados del ángulo el radio OT.
4. El otro lado del ángulo será la recta R buscada, la cual al formar un ángulo de 90º con el radio OT es perpendicular a él.

IMPORTANTE: no se pueden trazar los problemas por tanteo o de forma aproximada; hay que trazar la recta que es perpendicular al radio por el punto T. Solo existe esa solución. Este rigor hay que llevarlo siempre a cabo en la resolución de todos los ejercicios. 

   SEGUNDO EJERCICIO. Es el ejercicio anterior pero planteado al revés: dada una recta S, trazar por un punto T de ella una circunferencia tangente con un radio r dado. Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Nos dan la recta S y un punto T en donde queremos trazar una circunferencia tangente a la recta.
2. Como sabemos que el radio de la circunferencia tangente es perpendicular a la recta dada por el punto de tangencia T, trazamos una recta perpendicular a la recta S por el punto T con la ayuda de la escuadra o el cartabón.
3. Colocamos la magnitud del radio r de la circunferencia que nos piden trazar, localizando el centro O de la circunferencia.
4. Basta con trazar la circunferencia de radio r. Dicha circunferencia será tangente a la recta.



   TERCER EJERCICIO. Hallar una circunferencia de radio dado r que sea tangente a dos rectas que se cortan (tangentes a un ángulo). Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Nos dan dos rectas que se cortan en un punto, formando un ángulo, y el valor del radio de la circunferencia que queremos, sea tangente al ángulo.
2. Trazamos a una distancia igual al radio r, rectas paralelas a los lados. Recordemos que tenemos que trazar una recta perpendicular a cada lado para poder colocar la distancia. No se puede hacer a ojo. Donde se cortan las dos paralelas tendremos el centro de la circunferencia.
3. Antes de trazar la circunferencia se hallarán los puntos de tangencia. Para ello trazaremos rectas perpendiculares desde el centro O a los lados. Los pies de las perpendiculares determinan los puntos de tangencia. Una vez hallados se traza la circunferencia.


Para seguir con el tema vamos a ver a continuación las posibles posiciones que pueden haber entre dos circunferencias.


Tal como vemos en la ilustración inferior, hay tres posiciones posibles:

1. Que no se corten o no se toquen. En este caso decimos que son exteriores. También pueden no cortarse o tocarse y estar una dentro de la otra. En este caso decimos que son interiores.

2. Que se corten. En este caso  vemos que comparten entre sí dos puntos que hemos llamado A y B.

3. Que compartan un punto, es decir, que se toquen. En este último caso decimos que las circunferencias son tangentes entre sí.

HAY OTRA PROPIEDAD FUNDAMENTAL QUE HAY QUE SABER:

Entre circunferencias tangentes, el punto de tangencia T siempre está en la recta que une los dos centros de la circunferencia.
  

Vista esta propiedad fundamental vamos a proponer  dos ejercicios de trazados de tangencias entre circunferencias.


   CUARTO EJERCICIO. Halla una circunferencia de un radio r determinado que sea tangente otra circunferencias ya dada,por un punto T de ella.La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Tenemos la circunferencia de centro O1 el punto T de tangencia en ella y el radio r de la circunferencia que queremos que sea tangente.

2. Trazamos desde el centro O1 un radio cualquiera que pase por el punto T y lo prolongamos.

3. Colocamos a partir del punto T de tangencia la magnitud del radio de la circunferencia que será tangente, obteniendo su centro O2 .

4. Con centro en O2 y radio r trazamos la circunferencia buscada.









   QUINTO EJERCICIO. Hallar las posibles circunferencias de un radio r determinado que sean tangentes comunes a dos circunferencias dadas. La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Nos dan dos circunferencias de diferente radio O1 y O2 , así como el valor del radio r de las circunferencias que serán tangentes a las dos circunferencias a la vez.

2. Trazamos radios auxiliares de las circunferencias y prolongamos. Añadimos el valor del radio r de las circunferencias  que serán tangentes.












3. Trazamos arcos (en la imagen hemos dibujado circunferencias completas) con centro en los centros de las circunferencias dadas y de radio la suma total que nos sale al añadir el valor del radio r a las circunferencias.
Donde se cortan las circunferencias  estarán los centros O3   y  O4  de las circunferencias tangentes.

Los puntos de tangencia se hallan uniendo los centros de las circunferencias.


4. Es entonces cuando podremos trazar las circunferencias buscadas, las cuales serán tangentes comunes a las circunferencias dadas.

IMPORTANTE: no se pueden trazar los problemas por tanteo o de forma aproximada, hay que trazar los arcos de circunferencia para hallar los centros de las circunferencias tangentes y hay que unir los centros de las circunferencias para hallar los puntos de tangencia. Este rigor hay que llevarlo siempre a cabo en la resolución de todos los problemas de tangencias y de enlaces.

   Terminemos con otro ejercicio más. En este caso se trata de un ejercicio mixto.

   SEXTO EJERCICIO. Hallar las posibles circunferencias de un radio r determinado que sean tangentes comunes a una circunferencia de centro O y a una recta S dadas. La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Nos dan el radio de las circunferencias que serán tangentes, la circunferencia de centro O y la recta S.



2. Trazamos una recta paralela a la recta S a la distancia del radio dado. Recordemos que la distancia siempre se pone con el auxilio de una recta perpendicular a la recta, en este caso la recta S.

3. Se traza un radio auxiliar y se prolonga con el fin de añadir sobre él la magnitud del radio r que nos dan.
Se traza una circunferencia con centro en O y radio el resultante de haber añadido el valor del radio r.
Donde se cortan la recta paralela a S y la circunferencia del radio resultante obtenemos los centros de las circunferencias que con ese radio r que nos dan, serán tangentes a la recta S y a la circunferencia de centro O.

4. Determinaremos los puntos de tangencia entre circunferencias uniendo los centros OO1 y OO2 de las circunferencias y entre las circunferencias y la recta, trazando una perpendicular desde los centros O1 y O2 de las circunferencias a la recta S.





   Hay muchos más ejercicios de tangencias, pero con estos cinco explicados nos basta para trazar y analizar muchas formas del dibujo técnico y del diseño.











  El tema se puede descargar en formato pdf , solamente explicado con los dibujos (no hay texto) en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1Rh3yTWNpJtD-UybofpyFL7FXOJeXUr_d/view?usp=sharing

   AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.

   ACTIVIDAD Nº 1.

   Título: Ejercicios de tangencias.

   Para ejercitarnos, vamos a resolver los cinco problemas de tangencias que aparecen en la ficha que se puede descargar en el siguiente enlace:

  https://drive.google.com/open?id=1cy5lK2kmmrdbsgRFSLA5WAhEJ2jyDspM

   ACTIVIDAD Nº 2, COMPLEMENTARIA.

   En un simple papel en blanco de formato A/4 resuelve el siguiente ejercicio, procurando que te quepan todo en el papel y que quede grande. Los datos los eliges tú:

   Dibuja una circunferencia y traza otra de radio diferente que sea tangente a ella por un punto T que hayas elegido. Traza otra circunferencia que tenga un radio diferente a las dos anteriores y que sea tangente a ellas dos a la vez.

   Una vez resuelto el ejercicio, traza el triángulo que se obtiene uniendo los centros de las tres circunferencias. ¿Serías capaz de obtener una circunferencia que esté dentro del triángulo y que sea tangente a los tres lados? Deberás hallar correctamente los puntos de tangencia. Esa circunferencia recibe el nombre de circunferencia inscrita y el centro de esa circunferencia recibe el nombre de incentro.


   ACTIVIDAD Nº 3. Preguntas sobre este tema.

1. ¿Qué propiedad fundamental hay que saber cuando una recta y una circunferencias son tangentes?

2. ¿Qué propiedad fundamental hay que saber cuando dos circunferencias son tangentes entre sí?

3. ¿Cuáles son las posiciones que pueden tener una recta y una circunferencia entre sí? Haz un dibujo en cada caso.

4. ¿Cuáles son las posiciones que pueden tener dos circunferencias entre sí? Haz un dibujo en cada caso.







    El tema de tangencias se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=19D0Ch2qig56DHMfNQqtsAH3EvQxsxxkg

   Ahora vamos a ver las aplicaciones de las tangencias para hacer lo denominado "enlaces". Para ello vamos a ver el tema en el siguiente enlace:

http://dibutodo.blogspot.com.es/2018/03/tb-41-enlaces-2-de-eso.html 

Un problema curioso de intersección de planos.

A continuación ofrecemos el resultado de un ejercicio interesante para comprobar cómo las aristas de un prisma no son más que la intersecciones de las caras del prisma entre sí, las cuales no son más que planos.

Debajo de la imagen colocamos el enlace para que se pueda descargar el ejercicio en blanco.

https://drive.google.com/open?id=1NSWdnR50X9W5FPQ0FBiv48S9sdqw3e8k

Sistema diédrico. Ejercicios sobre determinación de las trazas de un plano dado por dos rectas. 1º de bachillerato

 

 Lahoja de ejercicios en limpio se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace: https://drive.google.com/open?id=1iHX9QLHzV6SFH60nCLuyTbPwKOEdVw5p

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

  La circunferencia está llena de relaciones geométricas. Una de las más conocidas es la relación de proporción que se produce cuando irradiamos rectas secantes o tangentes a la cicunferencias desde un punto exterior.

   La explicación en vídeo la podemos obtener en este enlace, concretamente en el minuto 3,47: https://youtu.be/4qtsBjo7jXc

  En la ilustración siguiente vemos cómo desde un punto exterior P a una circunferencia de centro O irradiamos una serie de rectas, dos secantes y una tangente a dicha circunferencia, de tal forma que podemos obtener una serie de segmentos que llamaremos PA, PB, PC, PD, PT.

  Pues bien; el producto de los segmentos que se obtienen siempre es constante. A ese valor constante, que llamaremos K, es lo que se denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia de centro O. De tal forma que el producto de los dos sementos PA x PB es el mismo que el producto de los dos segmentos PC x PD, e igual al producto de PT x PT (T se consideraría un segmento infinitamente pequeño), y de los infinitos segmentos que surjan de irradiar rectas desde el punto P y que corten a la circunferencia dada.

  Si unimos los puntos A y D mediante un segmento y los puntos C y B mediante otro segmento obtenemos las siguientes relaciones, tal como se muestra en la ilustración:

- Los ángulos que se forman alfa 1 y alfa 2  están inscritos en la circunferencia y los dos abarcan el mismo segmento BD (cuerda BD), luego los dos son iguales a la mitad del ángulo central. Llegamos, pues a la conclusión de que los dos ángulos son iguales. Recordemos que todo ángulo inscrito en una circunferencia  es la mitad del angulo central de una circunferencia si los  ángulos abarcan un mismo segmento, así como dicho ángulo central. La demostración de este postulado lo explicamos esquemáticamente en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/2016/05/angulos-en-la-circunferencia.html


- Por el mismo razonamiento, los ángulos beta 1 y beta 2 también son iguales.

- Los ángulos gamma 1 y gamma 2 son iguales también, pues son ángulos opuestos por el vértice.

- Es evidente, entonces, que los triángulos formados por dichos ángulos son semejantes. Tienen la misma forma pero diferente tamaño. Son proporcionales.

- Los triángulos PBC y PDA también son semejantes, pues comparten un mismo ángulo (el omega del vértice común P) y los ángulos beta 1 y beta 2 miden lo mismo.

- Si son semejantes, podemos establecer la siguiente relación de proporción:  PA / PD = PC / PB, luego PA x PB = PC x PD.

- PT viene comprendido por una recta tangente a la circunferencia . La sección producida, pues, se puede concebir como infinitamente pequeña, de tal foma que el punto T es un punto doble, es como un segmento infinitamente pequeño en que sus extremos coinciden, luego:

                                                                                                                               

 PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT al cuadrado.

- De esta relación de proporción se deduce también que el segmento PT es media proporcional entre los segmentos PA y PB o PC y PD. Luego estamos ante un método gráfico muy adecuado para calcular medias proporcionales entre dos segmentos dados.

Es de interés destacar que lo ocurrido  con el segmento PT es clave para la resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias basados en ejes y centros radicales. Dichos problemas se fundamentan en el siguiente enlace de este mismo blog: http://dibutodo.blogspot.com.es/search?q=radical