TB 40. Tangencias. 2º ESO.

Imagen de la derecha bajo licencia CCO https://pixabay.com/photo-1031949/

   Las tangencias y los enlaces que se derivan de ellas son trazados geométricos presentes en numerosos diseños, en el dibujo técnico para la fabricación de objetos, en estructuras arquitectónicas y muchas formas decorativas.

    Primero abordaremos el tema de tangencias, explicando las propiedades fundamentales que las rigen, para luego hablar de lo que son los enlaces.

TANGENCIAS

 

   En primer lugar tenemos que decir que las tangencias son relaciones se dan principalmente entre circunferencias y rectas y circunferencias entre sí.


   Para comenzar vamos a ver las posibles posiciones que pueden haber entre una circunferencia y una recta.


   Tal como vemos en la ilustración inferior, hay tres posiciones posibles: que se corten, que no se corten o que compartan un punto es decir, "que se toquen", dicho groso modo. En este último caso decimos que la recta y la circunferencia son tangentes. El punto que teien en común se denomina punto de tangencia y se suele denominar con la letra T.

   HAY UNA PROPIEDAD FUNDAMENTAL QUE HAY QUE SABER:

   Entre recta y circunferencia tangentes, la recta tangente siempre es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
   

   Vista esta propiedad fundamental vamos a proponer varios ejercicios de trazados de tangencias entre circunferencias y rectas.

   PRIMER EJERCICIO. Dada una circunferencia , hallar una recta R que sea tangente por un punto T de la circunferencia. Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Tenemos la circunferencia de centro O y el punto T donde queremos pasar una recta tangente.
2. Trazamos un radio desde O hasta el punto de tangencia T.
3. Colocamos la escuadra o el cartabón con la intención de trazar un ángulo de 90º, siendo uno de los lados del ángulo el radio OT.
4. El otro lado del ángulo será la recta R buscada, la cual al formar un ángulo de 90º con el radio OT es perpendicular a él.

IMPORTANTE: no se pueden trazar los problemas por tanteo o de forma aproximada; hay que trazar la recta que es perpendicular al radio por el punto T. Solo existe esa solución. Este rigor hay que llevarlo siempre a cabo en la resolución de todos los ejercicios. 

   SEGUNDO EJERCICIO. Es el ejercicio anterior pero planteado al revés: dada una recta S, trazar por un punto T de ella una circunferencia tangente con un radio r dado. Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Nos dan la recta S y un punto T en donde queremos trazar una circunferencia tangente a la recta.
2. Como sabemos que el radio de la circunferencia tangente es perpendicular a la recta dada por el punto de tangencia T, trazamos una recta perpendicular a la recta S por el punto T con la ayuda de la escuadra o el cartabón.
3. Colocamos la magnitud del radio r de la circunferencia que nos piden trazar, localizando el centro O de la circunferencia.
4. Basta con trazar la circunferencia de radio r. Dicha circunferencia será tangente a la recta.



   TERCER EJERCICIO. Hallar una circunferencia de radio dado r que sea tangente a dos rectas que se cortan (tangentes a un ángulo). Debajo de la imagen explicamos el procedimiento paso por paso.

1. Nos dan dos rectas que se cortan en un punto, formando un ángulo, y el valor del radio de la circunferencia que queremos, sea tangente al ángulo.
2. Trazamos a una distancia igual al radio r, rectas paralelas a los lados. Recordemos que tenemos que trazar una recta perpendicular a cada lado para poder colocar la distancia. No se puede hacer a ojo. Donde se cortan las dos paralelas tendremos el centro de la circunferencia.
3. Antes de trazar la circunferencia se hallarán los puntos de tangencia. Para ello trazaremos rectas perpendiculares desde el centro O a los lados. Los pies de las perpendiculares determinan los puntos de tangencia. Una vez hallados se traza la circunferencia.


Para seguir con el tema vamos a ver a continuación las posibles posiciones que pueden haber entre dos circunferencias.


Tal como vemos en la ilustración inferior, hay tres posiciones posibles:

1. Que no se corten o no se toquen. En este caso decimos que son exteriores. También pueden no cortarse o tocarse y estar una dentro de la otra. En este caso decimos que son interiores.

2. Que se corten. En este caso  vemos que comparten entre sí dos puntos que hemos llamado A y B.

3. Que compartan un punto, es decir, que se toquen. En este último caso decimos que las circunferencias son tangentes entre sí.

HAY OTRA PROPIEDAD FUNDAMENTAL QUE HAY QUE SABER:

Entre circunferencias tangentes, el punto de tangencia T siempre está en la recta que une los dos centros de la circunferencia.
  

Vista esta propiedad fundamental vamos a proponer  dos ejercicios de trazados de tangencias entre circunferencias.


   CUARTO EJERCICIO. Halla una circunferencia de un radio r determinado que sea tangente otra circunferencias ya dada,por un punto T de ella.La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Tenemos la circunferencia de centro O1 el punto T de tangencia en ella y el radio r de la circunferencia que queremos que sea tangente.

2. Trazamos desde el centro O1 un radio cualquiera que pase por el punto T y lo prolongamos.

3. Colocamos a partir del punto T de tangencia la magnitud del radio de la circunferencia que será tangente, obteniendo su centro O2 .

4. Con centro en O2 y radio r trazamos la circunferencia buscada.









   QUINTO EJERCICIO. Hallar las posibles circunferencias de un radio r determinado que sean tangentes comunes a dos circunferencias dadas. La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Nos dan dos circunferencias de diferente radio O1 y O2 , así como el valor del radio r de las circunferencias que serán tangentes a las dos circunferencias a la vez.

2. Trazamos radios auxiliares de las circunferencias y prolongamos. Añadimos el valor del radio r de las circunferencias  que serán tangentes.












3. Trazamos arcos (en la imagen hemos dibujado circunferencias completas) con centro en los centros de las circunferencias dadas y de radio la suma total que nos sale al añadir el valor del radio r a las circunferencias.
Donde se cortan las circunferencias  estarán los centros O3   y  O4  de las circunferencias tangentes.

Los puntos de tangencia se hallan uniendo los centros de las circunferencias.


4. Es entonces cuando podremos trazar las circunferencias buscadas, las cuales serán tangentes comunes a las circunferencias dadas.

IMPORTANTE: no se pueden trazar los problemas por tanteo o de forma aproximada, hay que trazar los arcos de circunferencia para hallar los centros de las circunferencias tangentes y hay que unir los centros de las circunferencias para hallar los puntos de tangencia. Este rigor hay que llevarlo siempre a cabo en la resolución de todos los problemas de tangencias y de enlaces.

   Terminemos con otro ejercicio más. En este caso se trata de un ejercicio mixto.

   SEXTO EJERCICIO. Hallar las posibles circunferencias de un radio r determinado que sean tangentes comunes a una circunferencia de centro O y a una recta S dadas. La explicación de la resolución la damos a continuación.

1. Nos dan el radio de las circunferencias que serán tangentes, la circunferencia de centro O y la recta S.



2. Trazamos una recta paralela a la recta S a la distancia del radio dado. Recordemos que la distancia siempre se pone con el auxilio de una recta perpendicular a la recta, en este caso la recta S.

3. Se traza un radio auxiliar y se prolonga con el fin de añadir sobre él la magnitud del radio r que nos dan.
Se traza una circunferencia con centro en O y radio el resultante de haber añadido el valor del radio r.
Donde se cortan la recta paralela a S y la circunferencia del radio resultante obtenemos los centros de las circunferencias que con ese radio r que nos dan, serán tangentes a la recta S y a la circunferencia de centro O.

4. Determinaremos los puntos de tangencia entre circunferencias uniendo los centros OO1 y OO2 de las circunferencias y entre las circunferencias y la recta, trazando una perpendicular desde los centros O1 y O2 de las circunferencias a la recta S.





   Hay muchos más ejercicios de tangencias, pero con estos cinco explicados nos basta para trazar y analizar muchas formas del dibujo técnico y del diseño.











  El tema se puede descargar en formato pdf , solamente explicado con los dibujos (no hay texto) en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1Rh3yTWNpJtD-UybofpyFL7FXOJeXUr_d/view?usp=sharing

   AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.

   ACTIVIDAD Nº 1.

   Título: Ejercicios de tangencias.

   Para ejercitarnos, vamos a resolver los cinco problemas de tangencias que aparecen en la ficha que se puede descargar en el siguiente enlace:

  https://drive.google.com/open?id=1cy5lK2kmmrdbsgRFSLA5WAhEJ2jyDspM

   ACTIVIDAD Nº 2, COMPLEMENTARIA.

   En un simple papel en blanco de formato A/4 resuelve el siguiente ejercicio, procurando que te quepan todo en el papel y que quede grande. Los datos los eliges tú:

   Dibuja una circunferencia y traza otra de radio diferente que sea tangente a ella por un punto T que hayas elegido. Traza otra circunferencia que tenga un radio diferente a las dos anteriores y que sea tangente a ellas dos a la vez.

   Una vez resuelto el ejercicio, traza el triángulo que se obtiene uniendo los centros de las tres circunferencias. ¿Serías capaz de obtener una circunferencia que esté dentro del triángulo y que sea tangente a los tres lados? Deberás hallar correctamente los puntos de tangencia. Esa circunferencia recibe el nombre de circunferencia inscrita y el centro de esa circunferencia recibe el nombre de incentro.


   ACTIVIDAD Nº 3. Preguntas sobre este tema.

1. ¿Qué propiedad fundamental hay que saber cuando una recta y una circunferencias son tangentes?

2. ¿Qué propiedad fundamental hay que saber cuando dos circunferencias son tangentes entre sí?

3. ¿Cuáles son las posiciones que pueden tener una recta y una circunferencia entre sí? Haz un dibujo en cada caso.

4. ¿Cuáles son las posiciones que pueden tener dos circunferencias entre sí? Haz un dibujo en cada caso.







    El tema de tangencias se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=19D0Ch2qig56DHMfNQqtsAH3EvQxsxxkg

   Ahora vamos a ver las aplicaciones de las tangencias para hacer lo denominado "enlaces". Para ello vamos a ver el tema en el siguiente enlace:

http://dibutodo.blogspot.com.es/2018/03/tb-41-enlaces-2-de-eso.html