Polígonos regulares estrellados. 1º de bachillerato.

 

Los polígonos regulares cóncavos o estrellados.

   Si dividimos una circunferencia en partes iguales y se unen sucesivamente estas divisiones, se obtiene un polígono regular convexo cuyos vértices son la propias divisiones. Pero si unimos las divisiones de dos en dos, o si procede de tres en tres, etc.,  los polígonos resultantes son cóncavos o estrellados. 

Pentágono estrellado

 

   Se llama GÉNERO del polígono al número de lados del polígono estrellado. El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado, por ejemplo, de cinco vértices se denomina igual que uno convexo, es decir, pentágono estrellado, como vemios en la fugura superior.

   Se llama PASO al número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado. En un estrellado de un paso, cada lado se ha saltado una división. Si vemos el pentágono estrellado comprobaremos que nos hemos saltado una división para resolver el polígono.

   Concepto de  ESPECIE en un polígono estrellado. La división de una circunferencia en partes iguales puede dar conmo resultado diferentes polígonos estrellados con el mismo género. Si vemos la figura de abajo nos daremos cuenta de que una división de una crcunferencia en siete partes iguales nos determina dos tipos de heptégonos estrellados. Serán de primera especie, si se unen los vértices de dos en dos, de segunda especie si lo hacemos de 3 en 3,  y así lo que nos permita dar la división.

 

   Cómo se calcula el número de polígonos estrellados (especies) que se pueden obtener de una determinada división.

   El número de polígonos estrellados que tiene la división de una circunferencia en una determinada cantidad de partes iguales es el número de cifras primas de esa cantidad  menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican el paso del polígono y por consiguiente su especie.

    Por ejemplo: en cinco partes iguales.  Dividimos 5 entre 2 y obtenemos 2,5. El número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y dicho número es primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. El pentágono, pues,  tiene un solo polígono estrellado, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2)  ya que es 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono resultante será por tanto de 1ª especie. 

   Veamos otro ejemplo con un  heptágono, resultado de la división de una circunferencia en 7 partes iguales. Su mitad es 3.5; Y los números 3 y 2 (menos res de 3,5) son primos de 7. El heptágono cóncavo o la división de la circunferencia en 7 partes nos determina dos polígonos estrellados correspondientes a los dos primos de 7 menores de 3,5, y son de pasos 2 y 3, es decir, de  especies 1ª y 2ª respectivamente.

    Veamos ahora los caso en donde no estamos ante un polígono estrellado.

   Pongamos ejemplo del hexágono:la mitad de seis es 3, pero 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. Por tanto el hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 1 no tiene primos. Se puede generar en este caso lo que se denomina "polígono en forma de estrella o pseudopolígono estrellado". Obtenemos dos triágulos equiláteros secantes dispuestos en simetría central, pero no obtenemos un hexágono estrellado.

   Según los explicado una división en partes de una circunferencia o un polígono cóncavo nos da lo siguiente: 

   El triángulo no puede tener polígono estrellado. El cuadrado no tiene polígono estrellado (obtendríamos un simple segmento). El pentágono uno de 1ª especie. El hexágono ninguno. El heptágono nos da dos soluciones, de 1ª y 2ª especie (saltando una dicvisión y saltando dos divisiones). El octógono uno, de 2ª especie. El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie. El decágono solo uno, de 2ª especie, ya que  10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad, pero 4 no es primo de 2 y 2 no es primo de 10. Luego solo sale uno saltándonos tres divisiones.  El endecágono nos da 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie (ver ilustyración inferior). El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5, dejando cuatro divisiones libres, es decir, solo uno de 4ª especie. Y así sucesivamente.

  Un buen ejercicio es comprobar sin necesidad de dibujar, cuántos polígonos estrellados nos da una división de una circunferencia de 21 partes.

Las cuatro soluciones de endecágonos estrellados (11 lados).

El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1FkSubxUYJ07vM1POxawDsDZy-_rJQNKB/view?usp=sharing