T 11. División de una circunferencia en partes iguales (polígonos regulares).

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES.
(Obtención de polígonos regulares conocida la circunferencia que los circunscribe)

   
   Esta entrada sobre división de una circunferencia vale para todos los niveles de ESO y de bachillerato. Para cada nivel se exigirá un problema u otro en clase.

   Introducción.

   La definición más típica de circunferencia es la curva cerrada y plana en la que todos sus puntos mantienen una misma distancia respecto a un punto llamado centro.

 

  Los elementos más significativos de una circunferencia, tal como vemos en la imagen inferior, son:

1. El centro de la circunferencia. Se suele designar con la letra O.

2. El radio: es la distancia que existe desde un punto cualquiera de la circunferencia al centro O.

3. El diámetro: es el segmento que pasa por el centro y que abarca dos puntos de la circunferencia. Mide el doble magnitud que el radio.

4. Cuerda. Cualquier segmento que abarque dos puntos de la circunferencia.

5. Arco: cualquier porción de circunferencia. En el caso de la imagen inferior,el arco que abarca los puntos a y b.

  
 La división de una circunferencia en partes iguales resulta muy útil, pues es un buen instrumento para la construcción de polígonos regulares entre otras formas geométricas, ya que podemos obtenerlos uniendo las divisiones de la circunferencia con segmentos, siendo estos cuerdas de la circunferencia, los cuales serían los lados del polígno buscado. Mostramos a continuación un ejemplo con la división en 12 partes iguales de una circunferencia. Obtendríamos así un dodecágono regular.

   A continuación vamos a tratar de la división de la circunferencia en un número determinado de partes iguales.

   1. División de una circunferencia en tres y seis partes iguales.

1. Trazamos un diámetro vertical AB.

2. Con centro en el extremo B y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco , que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Tendremos así los puntos A, C y D quedando ya dividida la circunferencia en tres partes iguales. Uniendo dichos puntos tendríamos un triángulo equilátero.

3. Repetimos la misma operación con centro en el punto A, y obtenemos los puntos E y F.

4. Los puntos A,B,C,D,E y F son las divisiones de la circunferencia 1,2, 3, 4, 5, y 6. Uniendo todos los puntos con segmentos, obtendríamos un hexágono regular.

   2. División de una circunferencia en cuatro y ocho partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular al anterior, CD. Tendremos ya dividida la circunferencia en cuatro partes iguales, A,B,C y D. Uniendo dichos puntos con segmentos obtendríamos un cuadrado.
    Trazamos a continuación la bisectriz al cuadrante (ángulo recto) COB, con el fin de dividir por la mitad el arco BC. Obtendremos así el punto E. Si unimos el punto E con el centro O y prolongamos la unión, obtendremos F, punto que divide al arco AD en dos partes iguales también.

3. Hacemos la misma operación con el arco CA para obtener las divisones G y H. Hemos pasado, pues, de cuatro divisiones a ocho divisiones.

4. Lospuntos A,B,C,D,E.F,G y H son las ocho divisiones iguales de la circunferencia. Si los unimos con segementos obtendríamos un octógono regular.

   3. División de una circunferencia en cinco partes iguales.

1. Trazaremos  un diámetro preferentemente horizontal, AB.

2. Trazamos un diámetro perpendicular al primero. Y trazamos la mediatriz del radio OB que nos sale, con el fin de hallar M, punto centro de ese radio.

3. Con centro en M y radio MC, trazamos un arco de circunferencia hasta obtener el punto D en el diámetro.

4. La distancia CD es justo una quinta parte de la circunferencia. Si hacemos centro con el compás en el punto C, que será el punto 1, llevamos esa cantidad de 1/5 y la repartimos por la circunferencia, esta quedará dividida en cinco partes exactamente iguales y podremos construir, uniendo las divisiones con segmentos, un pentágono regular.

   4. División de una circunferencia en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB.

2. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

3. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos E y F.

4. Al unir los punto E y F, obtendremos un segmento que cortará al diámetro horizontal en el punto G. La distancia G E, es justo un séptimo de la circunferencia. Basta que comencemos a llevarnos dicha distancia desde el punto C (que será el punto 1) para que se divida la circunferencia en siete partes iguales. Si unimos las divisiones con segmentos, obtendríamos un heptágono regular.

  5. División de una circunferencia en nueve partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto C y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en un punto que llamaremos E. 
3. Ahora, con centro en el otro extremo D del diámetro vertical y  radio igual a  DE trazaremos otro arco que nos cortará a la prolongación del diámetro horizontal AB en un punto que llamaremos F.

4.  Con centro en el punto F y radio FC, trazamos nuevamente otro arco de circunferencia, el cual cortará al diámetro AB en el punto G. La distancia AG es justo la novena parte de la circunferencia. Basta repetir nueve veces la cantidad para que nos quede dividida la circunferencia en nueve partes iguales.

6. División de una circunferencia en diez partes iguales.

 

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Trazamos, con centro en el punto B y el mismo radio, un arco que cortará a la circunferencia en los puntos que llamaremos E y F. La recta que pasa por esos puntos es la mediatriz del radio y lo dividirá en el punto M.
3.  Con centro en el punto M y radio MC trazamos un arco de circunferencia que cortará al diámetro AB en un punto (no viene nombrado).
4. la distancia entre ese punto y el centro de la circunferencia es la décima parte. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividida en diez partes iguales.



7. División de una circunferencia en once partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.
2. Con centro en el extremo A del diámetro AB y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que cortará a esta en el punto F.
3. Con centro en el extremo D del diámetro CD trazaremos otro arco de igual radio que el de la circunferencia, el cual cortará a esta  en el punto E.
4. Con centro en el punto E y radio igual a EF trazaremos un arco de circunferencia que cortará al diámetro CD en el punto G. La distancia entre el punto F y el punto G es justo un onceavo de la circunferencia. No se ha dibujado el segmento para que se vea claro el dibujo. Si pasamos dicha cantidad en la circunferencia, esta quedará dividiva en once partes iguales.



 8. División de una circunferencia en doce partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal de extremos 1 y 2. Trazamos otro perpendicular (vertical) de extremos 2 y 4. (Los hemos nombrado con números porque ya son divisiones de la circunferencia).

2.  Con centro en la división 4 y radio igual al de la circunferencia, trazamos un arco de circunferencia que al cortar la la circunferencia nos determina las divisiones 5 y 6.

3. Hacemos la misma operación en la división 1, obteniéndose las divisiones 5 y 6.

4. Repetimos la operación con las divisiones 2 y 3, obteniendo las divisiones 9, 10, 11 y 12.

   

 9 . Método general de división de una circunferencia en cualquier número de partes iguales.

    El método general es un método prácticvo en el sentido de que solo habría que memorizar este método para hacer cualquier división, pero no es un método exacto, sino aproximado.

    A continuación ofrecemos un ejemplo pra dividir en siete partes iguales.

1. Trazamos un diámetro horizontal AB. Trazamos otro perpendicular (vertical) CD.

2. Dividimos el dámetro vertical AB en tantas partes iguales como querramos dividir la circunferencia. En este caso hemos escogido siete partes, con el objeto de dibujar luego un heptágono regular.

3. Con centro en el extremo A del diámetro AB, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a dicho diámetro. Prolongamos también el diámetro CD. Dicho arco cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto E.

4. Trazamos una recta que pase por el punto E y por la segunda división que hemos hecho al diámetro AB. Siempre se escoge la segunda división sea cual sea el número de partes iguales con que querramos dividir la circunferencia. Dicha recta cortará a la circunferencia en un punto que será la séptima parte.

PARA TERMINAR.

 Se puede descargar una hoja con los dibujos de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 en este enlace:

https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD 

 Se puede descargar una hoja con los ejercicico 5, 6, 7 y 8 en este enlace:

https://drive.google.com/file/d/1K1QQEgQSyYsdaRipNklGQdSlF1L6Cpbd/view?usp=sharing 

TB 30. Polígonos regulares estrellados. 2º ESO.

LOS POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

   Antes de empezar este tema recordemos qué era un polígono regular.

   Un polígono regular era el polígono que tenía todos sus lados y sus ángulos iguales. 


   Ya sabemos que si dividimos una circunferencia en partes iguales y unimos de forma consecutiva las divisiones hallaríamos un polígono regular convexo inscrito en la circunferencia, como vemos en la imagen de arriba. La circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita, de tal forma que el polígono queda inscrito en la circunferencia.

      Pero si unimos las divisiones de forma constante y no consecutiva, saltando divisiones,   podremos obtener un polígono regular cóncavo que se denomina "polígono estrellado". 

   En la imagen de la derecha tenemos un pentágono estrellado. Fijémonos que hemos empezado a dibujar en la división número 1 y sin levantar el lápiz nos hemos ido al 3, luego al 5, luego al 2, luego al cuatro, para volver nuevamente al 1. Tenemos, pues un polígono regular de 5 lados que se cortan.



    Según el número de divisiones tenga un circunferencia, podremos obtener ninguno, uno o varios polígonos estrellados. Si tomamos por ejemplo una división de la circunferencia en 11 partes iguales podremos obtener hasta cuatro polígonos estrellados diferentes, dependiendo si nos saltamos una, dos tres o cuatro divisiones. 

   A continuación se muestran los cuatro posibles endecágonos estrellados.

   En algunos casos, cuando unimos divisiones de forma alterna para conseguir un polígono estrellado podemos encontrarnos que la forma se cierra antes de haber cubierto todas las divisiones, formando un polígono convexo, y que tendríamos que "levantar" el lápiz para continuar. En estos casos NO tenemos un polígono estrellado, sino varios polígonos convexos que se cortan. En este caso obtenemos lo que se llama "falso polígono estrellado", "polígono en forma de estrella", "pseudopolígono estrellado",  o también llamado "falsa estrella".

   En la imagen superior izquierda tenemos un falso hexágono estrellado. Si nos fijamos bien veremos que son realmente dos triángulos equiláteros que se cortan.

   Las dos imágenes inferiores nos muestran, a la izquierda un octógono estrellado, saltándonos dos divisiones para dibujarlos lados. A la derecha un octógono en forma de estrella saltando solo una división, de tal forma que salen realmente dos cuadrados.

Fotografía: Felivet.Dominio público.

   Los polígonos estrellados y los de falsa estrella se han usado mucho en las artes decorativas aplicadas a la arquitectura. En la imagen derecha tenemos un ejemplo de falso hexágono estrellado en el rosetón de la catedral de Valencia, la cual es de estilo gótico. En las catedrales de la época del gótico se emplean mucho los polígonos estrellados para decorar los rosetones.





    En la imagen inferior ofrecemos un ejemplo de vano (ventana) estrecho de una iglesia románica asturiana, en donde se ha usado la mitad de un dodecágono en forma de estrella con tres cuadrados para decorar la arquivolta.

 

   En las dos imágenes inferiores ponemos otro ejemplo, en este caso de pentágono estrellado, en uno de los rosetones de la catedral de Amiens (Francia).

 













El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=154kBaWX7a1OCDcWMebDWTWOnZygqvfU_

Ahora nos toca dibujar a nosotros.

   ACTIVIDAD Nº 1. 

   El título de la lámina es: Polígonos estrellados.

   Vamos a dividir una lámina en 4 partes iguales mediante una recta vertical y otra horizontal que pasen por los puntos medios de los lados del margen, y dibujaremos los siguiente:

1. En el casillero superior izquierdo dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 5 partes iguales e inscribiremos en ella un pentágono regular estrellado con lápiz de color violeta

2. En el casillero superior derecho dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 7 partes iguales e inscribiremos en ella un heptágono regular estrellado con lápiz de color azul y otro de color naranja.

3. En el casillero inferior izquierdo dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 8 partes iguales e inscribiremos en ella un octógono regular estrellado con lápiz de color rojo.

4. En el casillero inferior derecho dividiremos una circunferencia de radio 35 mm en 6 partes iguales e inscribiremos en ella un falso hexágono regular estrellado con lápiz de color verde, dibujando dos triángulos equiláteros. A este último polígono le haremos un grosor de unos 5 mm y trabajando la técnica de la superposición haremos un nudo con los dos triángulos equiláteros, obteniendo como resultado la conocida "estrella de David".

     

   En la imagen inferior se muestra una imagen de la actividad. 

    IMPORTANTE: 

 
    En los trazados tiene que aparecer a lápiz de grafito normal (del portaminas 0,5) y con línea fina el procedimiento de cómo se dividen las circunferencias en partes iguales.

     Los títulos de los casilleros se escribirán con lápiz en la parte superior de cada recuadro: 1. Pentágono estrellado, 2. Heptágonos estrellados, 3. Octógono estrellado, 4. Hexágono en forma de estrella.
   
   Solo se escribirá con bolígrafo el nombre, los dos apellidos, el curso, el grupo, el título de la lámina (de la actividad) y el número de lámina.



   Para aprender y repasar cómo se divide una circunferencia en 5, 3 y 6, 7, 4 y 8 partes iguales, podéis visitar la siguiente entrada de este mismo blog: 

https://dibutodo.blogspot.com.es/2017/12/division-de-una-circunferencia-en.html 

   También os podéis descargar la explicación gráfica en formato PDF en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/open?id=1akEMsEEfN8_w4xbcca2bhuhq7cFfzkLD


  
 Los criterios de calificación de la actividad nº 1 serán los siguientes:

1. Irán destinados 2 puntos a cada ejercicio, desglosados de la siguiente manera:

- Si el procedimiento de obtención de la división en partes iguales cada circunferencia es correcto y las medidas de esta son las que se han pedido se puntuará 1 punto. Son necesarias tener bien las dos condiciones. 

- Si el trazado es el adecuado (en este caso que líneas sean finas para el procedimiento y gruesas para la solución con lápiz de color) se puntuará 0,5 puntos. 

- Si el color del polígono es el que se pide, se puntuará 0,5 puntos.

2. A la limpieza y la presentación de la lámina irá destinado 1 punto. Basta que estén cambiado de sitio algún ejercicio, que esté  mínimamente sucia o con algún dobladillo o arruga para puntuar cero en este apartado.

3. A la correcta cumplimentación de los datos del casillero (nombre, apellidos, curso, grupo, título y número de lámina) irá destinado 1 punto. Basta que falte algún dato para puntuar cero en este apartado.



   ACTIVIDAD Nº 2.

    En una lámina de formato A/4 haremos un diseño creativo usando polígonos estrellados y aplicando color con el lápiz.

   El título del trabajo será: Diseño creativo con polígonos estrellados.  A continuación mostramos algunos ejemplos realizados por los alumnos:

   Los criterios de calificación de la actividad nº2 serán los siguientes:

1. A la limpieza y la presentación de la lámina irá destinado 1 punto.

2. A la correcta cumplimentación de los datos del casillero (nombre, apellidos, curso, grupo, título) irá destinado 1 punto. Si falta uno de los datos se putuará cero.

3. A la calidad del trazado y precisión 2 puntos.

4. El trabajo a color, 3 puntos.

5. A la originalidad y creatividad, 3 puntos.




   ACTIVIDAD Nº 3, complementaria.

  El título del trabajo será: Diseño  de una rosa de los vientos.


  Una rosa de los vientos es un instrumento marino usado en las cartas de navegación que se utiliza para representar los 32 rumbos unidos por sus extremos. También suelen aparecer en la brújulas.

    ¿Seríamos capaces de diseñar en un A/4 y con color una rosa de los vientos?

    ¿La rosa de los vientos tiene algo que ver con los polígonos regulares en forma de estrella? Hay que fijarse bien.

    A continuación mostramos algunos ejemplos. El primero está basado en un dodecágono en forma de estrella compuesto de tres cuadrados. El segundo en un octógono estrellado como forma principal.

   Autor: Alves Gaspar https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Alvesgaspar?uselang=es  licencia
CC BY 2.5  Réplica de una rosa de los vientos  de un mapa de Jorge de Aguiar, 1492.

 Réplica de la rosa de los vientos de la carta náutica de Pedro Reinel de 1504. Es la primera rosa de los vientos conocida que representa claramente la flor de lis. Esta práctica fue adoptada en otras cartas náuticas y ha sobrevivido hasta la actualidad. 
Licencia CC BY 2.5  . 
Autor: Alves Gaspar https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Alvesgaspar?uselang=es

 

   ACTIVIDAD Nº 5, de ampliación. 

   El título será: Polígonos estrellados y en forma de estrella.

   Se te pide que en un formato A/4 lo siguiente.

1. Dividir el formato en horizontal mediante un recta en dos partes iguales.

2. En la parte superior dibujarás dos soluciones de polígonos estrellados que puedes obtener dividiendo la circunferencia que los circunscribe en 9 partes iguales. La circunferencia circunscrita tendrá un radio de 45 mm. Dibuja cada polígono con dos colores diferentes para que se distingan bien en el mismo dibujo. Indica en la parte superior del dibujo cómo se llamaría.

3. En la parte inferior dibujarás el único polígono estrellado que puedes obtener dividiendo la circunferencia que los circunscribe en 12 partes iguales. La circunferencia circunscrita tendrá un radio de 45 mm. Dibuja el polígono con un color diferente a los dos anteriores. Indica en la parte superior del dibujo cómo se llamaría.

   Importante: se deben dibujar polígonos estrellados y no polígonos en forma de estrella. 

   Para saber dividir la circunferencia en 9 y 12 partes iguales, deberás visitar el tema de la división de una circunferencia en partes iguales y buscar en dicha entrada cómo se resuelven: https://dibutodo.blogspot.com/2017/12/division-de-una-circunferencia-en.html




ACTIVIDAD nº 6  de preguntas sobre el tema. 

   Título de la actividad: Preguntas y respuestas del tema TB 30.

Responde a las siguientes preguntas del tema:

1. Definición de polígono regular.
2. ¿Cuándo decimos que una circunferencia está circunscrita a un polígono regular?
3. ¿Cómo obtenemos un polígono estrellado?
4. ¿Cuándo se obtiene un "polígono en forma de estrella"?
5. La división de una circunferencia en once partes iguales ¿puede dar como resultado un solo polígono estrellado o varios?
5. La división de una circunferencia en seis partes iguales ¿puede dar como resultado un polígono estrellado, o nos daría un polígono en forma de estrella? Una de las dos respuestas es la correcta.
6. Escribe un ejemplo del uso de polígonos estrellados en la arquitectura.


   

ACTIVIDAD Nº 7. DE REFUERZO. 

 Vas a hacer en un folio A/4 un pentágono estrellado, dividiendo una circunferencia de 80 mm de radio en cinco partes iguales. Si te fijas bien, es prácticamente el ejercicico 1 de la actividad nº1 de este tema. Una vez resuelto el polígono, le vas a dar un grosor de 10 mm a los lados y a la circunferencia circunscrita también. El dibujo definitivo debe tener el mismo aspecto que  el ejercicio 4  de la actividad 1 (resolver la estrella de David).

TA 17. Ejercicio de polígonos regulares básicos. Primer ciclo de ESO.

    Los he llamado básicos porque son los polígonos más fáciles de entender y resolver, aplicando, además, los trazados geométricos elementales para resolverlos, sin necesidad de usar la escuadra y el cartabón, como son:

- La mediatriz de un segmento, que se verá en el trazado del cuadrado y del octógono.
- La bisectriz de un ángulo, se verá en el octógono.
- El trazado de una perpendicular por el extremo de un segmento o una semirrecta,  que se verá en la construcción del  cuadrado.


    En primer lugar, recordemos que un polígono es una figura geométrica de forma cerrada que posee como mínimo 3 lados, ángulos y vértices. La palabra polígono proviene del griego poli que significa “muchos” y gonos que significa “ángulos.” Los polígonos están compuestos por varios segmentos que son llamados lados, y los puntos de encuentro son denominados vértices.

    En función del número de lados los hay: triángulos (con tres lados), cuadriláteros (con cuatro lados), pentágonos (con cinco lados), hexágonos (con seis lados), heptágonos (7), octógonos (8), eneágonos (9), decágonos (10), endecágonos (11), dodecágonos (12)...

    Los polígonos serán regulares si sus lados y sus ángulos son iguales. Si no se cumplen estas dos condiciones, serán irregulares.

   Vamos a explicar ahora cómo se resuelve cada uno de los ejercicios.
 

   Primer ejercicio: trazado de un triángulo equilátero en el que nos dan el valor del lado, que será de 70 mm.

   Recordemos que un triágulo equilátero es un polígono regular de tres lados. Todos sus ángulos miden 60º. Equilátero significa EQUI (igual), LÁTERO (lados).

1. Se traza una semirrecta y sobre ella se colocan 70 mm, que es valor del lado que nos piden. Obtenemos así el segmento AB.

2. Con centro en el extremo A y radio igual al lado (70 mm), trazamos un arco de circunferencia.

3. Repetimos la misma operación haciendo centro en el extremo B.

 4. Donde se cortan los dos arcos de circunferencia obtendremos el punto C, que es vértice del triángulo.

5. Basta unir los tres vértices ABC para obtener el triángulo.


   Segundo ejercicio: trazado de un cuadrado en el que nos dan el lado, de 50 mm.

  Recordemos que un cuadrado es un polígono regular de cuatro lados (es un cuadrilátero).

1. Sobre una recta colocamos la medida del segmento AB de 50 mm de lado.

2. Con centro en el extremo A trazamos un arco de circunferencia de radio el valor del segmento AB.

3. Por el extremo A levantamos una recta perpendicular al segmento AB. Colocamos la mediada del lado (50 mm) sobre dicha perpendicular, obteniendo así el vértice C.

4. Con centro en el extremo B y radio igual al lado trazamos un arco de circunferencia. Hacemos la misma operación con centro en el vértice C. Donde se cortan los dos arcos, obtenemos el vértice D.

5. Basta unir los vértices para obtener el cuadrado.


   Tercer ejercicio: trazado, nuevamente, de un cuadrado y también de un octógono regular. Pero esta vez no vamos a partir del valor del lado. Lo vamos a hacer de otra forma: dividiendo una circunferencia del radio que nos dan, de 35 mm en 4 y 8 partes iguales respectivamente.
  

1. Trazamos una circunferencia de centro O y radio igual a 35 mm.

2. Para que nos quede bien equilibrado el dibujo, trazamos por el centro O de la circunferencia una recta vertical. Cuando dicha recta corte a la circunferencia, obtendremos los puntos A y C, teniendola ya dividida en dos partes iguales.


3. Por ese mismo centro O, trazamos una recta horizontal, que será, pues, perpendicular a vertical anterior. Obtenemos, así los puntos D y B.


4. Basta con unir los puntos A,B,C y D para obtener el cuadrado.

5. Si hallamos las bisectrices de los ángulos de 90º formados con la división de la circunferencia en cuatro partes iguales, obtendremos los demás puntos E,F,G y H. Uniendo todos los puntos obtenidos obtendremos en octógono regular.





   Cuarto ejercicio: trazado de un triángulo equilátero y un hexágono regular, dividiendo una circunferencia de 30 mm de radio en 3 y 6 partes iguales.

1. Trazamos una circunferencia de 30 mm de radio.

2. Trazamos una recta vertical que pase por el centro de la circunferencia. Dicha recta, al cortar a la circunferencia nos determina los puntos A y D.

3. Con centro en el punto D y radio igual al de la circunferencia (30 mm) trazamos un arco que la corte, determinado los puntos B y C. 

4. La cicunferencia queda dividida en tres partes iguales con los puntos A,B y C. Basta con unir los puntos para obtener un triángulo equilátero.

5. Si haciendo centro en A trazamos otro arco de circunferencia de radio igualñ a la dada, 30 mm, obtendremos los puntos E y F y ya tendremos la circunferencia dividida en seis partes iguales.

6. Basta con unir los puntos A,B,C,D,E, y F para obtener el hexágono regular.

7. Como punto final diremos que si siguiésemos dividiendo en partes iguales mediante bisectrices obtendríamos el polígono regular del doble de lados, es decir; el dodecágono regular, de 12 lados.




   RESPONDE A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

 

1ª. ¿Qué es un polígono?

2ª. ¿De dónde viene la palabra polígono?

3ª. ¿De qué están compuestos los pológonos?

4ª. Menciona cuatro polígonos en función de su número de lados.

5ª. ¿Qué es un polígono regular?

6ª. ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero?

7ª. ¿Qué significa equilátero?

8ª. Definición de cuadrado.

 

   AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS:

     ACTIVIDAD Nº 1.

   Título de la actividad: polígonos regulares básicos.

    Consiste en dividir la lámina A/4 en cuatro partes iguales y en cada parte  hacer los cuatro ejercicios con el enunciado correspondiente en la parte superior.

     Esta ilustración de referencia nos servirá de referencia para ver cómo debe quedar la lámina. Las unidades vienen dadas en milímetros.

   Debajo, colocamos, como se observa, el trabajo de una alumna, dibujado a lápiz, que es como se pide.

 



  Conviene repasar los comentarios referentes a los diferentes grosores en el trazado geométrico en este enlace del mismo blog :  http://dibutodo.blogspot.com.es/2016/11/conceptos-y-trazados-basicos-1-de-eso.html

IMPORTANTE.

  Hay que respetar las medidas que aparecen en la lámina de muestra para encajar bien las figuras.

 Con esta rúbrica "visual" que ponemos a continuación se muestra muy bien cómo se califica, a saber:

Si la lámina queda ejecutada con limpieza.
Si el casillero está correctamente relleno, con todos lo datos y con el pautado de 5 mm y letra mayúscula.
Si el procedimiento de cada ejercicio es correcto.
Si el trazado es correcto, preciso y con los diferentes grosores de líneas.
Si el texto en cada ejercicio está bien resuelto, con pautado de 5 mm, letra mayúscula y bien encajado en los renglones.

Actividad nº2. De ampliación.

Título: Construcción de heptágono y dodecágono regular.
 


Consiste en que dividas una lámina en dos partes iguales. En la parte superior dibujarás un heptágono regular (7 lados) , dividiendo una circunferencia en siete partes iguales. En la parte infererior dibujarás un dodecágono (12 lados) regular, dividiendo una circunferencia en doce partes iguales. Las circunferencia medirán 50 milímetros de radio.

Parasaber cóm se divide una circunferencia en siete y doce partes iguales puedes consultar la siguiente entrada de este mismo blog:
https://dibutodo.blogspot.com/search?q=partes+iguales 

Polígonos regulares estrellados. 1º de bachillerato.

 

Los polígonos regulares cóncavos o estrellados.

   Si dividimos una circunferencia en partes iguales y se unen sucesivamente estas divisiones, se obtiene un polígono regular convexo cuyos vértices son la propias divisiones. Pero si unimos las divisiones de dos en dos, o si procede de tres en tres, etc.,  los polígonos resultantes son cóncavos o estrellados. 

Pentágono estrellado

 

   Se llama GÉNERO del polígono al número de lados del polígono estrellado. El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado, por ejemplo, de cinco vértices se denomina igual que uno convexo, es decir, pentágono estrellado, como vemios en la fugura superior.

   Se llama PASO al número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado. En un estrellado de un paso, cada lado se ha saltado una división. Si vemos el pentágono estrellado comprobaremos que nos hemos saltado una división para resolver el polígono.

   Concepto de  ESPECIE en un polígono estrellado. La división de una circunferencia en partes iguales puede dar conmo resultado diferentes polígonos estrellados con el mismo género. Si vemos la figura de abajo nos daremos cuenta de que una división de una crcunferencia en siete partes iguales nos determina dos tipos de heptégonos estrellados. Serán de primera especie, si se unen los vértices de dos en dos, de segunda especie si lo hacemos de 3 en 3,  y así lo que nos permita dar la división.

 

   Cómo se calcula el número de polígonos estrellados (especies) que se pueden obtener de una determinada división.

   El número de polígonos estrellados que tiene la división de una circunferencia en una determinada cantidad de partes iguales es el número de cifras primas de esa cantidad  menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican el paso del polígono y por consiguiente su especie.

    Por ejemplo: en cinco partes iguales.  Dividimos 5 entre 2 y obtenemos 2,5. El número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y dicho número es primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. El pentágono, pues,  tiene un solo polígono estrellado, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2)  ya que es 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono resultante será por tanto de 1ª especie. 

   Veamos otro ejemplo con un  heptágono, resultado de la división de una circunferencia en 7 partes iguales. Su mitad es 3.5; Y los números 3 y 2 (menos res de 3,5) son primos de 7. El heptágono cóncavo o la división de la circunferencia en 7 partes nos determina dos polígonos estrellados correspondientes a los dos primos de 7 menores de 3,5, y son de pasos 2 y 3, es decir, de  especies 1ª y 2ª respectivamente.

    Veamos ahora los caso en donde no estamos ante un polígono estrellado.

   Pongamos ejemplo del hexágono:la mitad de seis es 3, pero 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. Por tanto el hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 1 no tiene primos. Se puede generar en este caso lo que se denomina "polígono en forma de estrella o pseudopolígono estrellado". Obtenemos dos triágulos equiláteros secantes dispuestos en simetría central, pero no obtenemos un hexágono estrellado.

   Según los explicado una división en partes de una circunferencia o un polígono cóncavo nos da lo siguiente: 

   El triángulo no puede tener polígono estrellado. El cuadrado no tiene polígono estrellado (obtendríamos un simple segmento). El pentágono uno de 1ª especie. El hexágono ninguno. El heptágono nos da dos soluciones, de 1ª y 2ª especie (saltando una dicvisión y saltando dos divisiones). El octógono uno, de 2ª especie. El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie. El decágono solo uno, de 2ª especie, ya que  10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad, pero 4 no es primo de 2 y 2 no es primo de 10. Luego solo sale uno saltándonos tres divisiones.  El endecágono nos da 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie (ver ilustyración inferior). El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5, dejando cuatro divisiones libres, es decir, solo uno de 4ª especie. Y así sucesivamente.

  Un buen ejercicio es comprobar sin necesidad de dibujar, cuántos polígonos estrellados nos da una división de una circunferencia de 21 partes.

Las cuatro soluciones de endecágonos estrellados (11 lados).

El tema se puede descargar en formato PDF en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1FkSubxUYJ07vM1POxawDsDZy-_rJQNKB/view?usp=sharing