Segmento y circunferencia de Euler: un problema de triángulos que aglutina muchos elementos geométricos. 2º Bachillerato.

A continuación mostramos vídeos explicativos sobre el tema de puntos y rectas notables en un triángulo y la explicación de la obtención del segmento y la circunferencia de Euler. Se encuentran en este enlace: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHOr8AP9PMl7AMFM6Pe9XSlHOVKkKq4H5

Ahora vamos con el ejercicio.

1º.  Construir un triángulo conocidos los tres lados, a= 150 mm, b=132 mm y c= 116mm.

2º. Hallar en el triángulo los cuatro puntos notables: incentro (bisectrices), circuncentro (mediatrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas).

3º. Halla el triángulo órtico: recuerda que es el que tiene como vértices los pies de las alturas. Verifica cómo las alturas del triángulo dado coinciden con las bisectrices del triángulo órtico.

4º. Halla el segmento de Euler, el cual abarca los puntos baricentro, ortocentro y circuncentro.

5º. Halla la circunferencia de Euler. Recuerda que tiene como centro el punto medio del segmento de Euler y como radio 1/2 del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.

6º. Comprueba cómo la circunferencia de Euler contiene 9 puntos significativos en el triángulo dado, a saber:

- Los pies de las alturas.
- Los puntos medios de los lados.
- Los puntos medios de los segmentos que tienen por extremo el ortocentro y los vértices del triángulo.

Es sorprendente la cantidad de propiedades geométricas que tiene un traiángulo, ¿no?

Teoría sobre los rtitmos decorativos.

A continuación ofrecemos unas fotocopias que se les suele entregar al alumnado de 4º de ESO. Son muy antiguas, pero bastante eficaces; fijémonos en que la tipografía está resuelta con máquina de escribir, algo que ya no se ve habitualmente.
En ellas se muestran tanto el concepto de ritmo decorativo (lo que tradicionalmente se llama "cenefa") como la clasificación de este. Las combinaciones son enormes.

Problemas de selectividad PAU Andalucía sobre homografías (transformaciones). 2º Bachillerato.

1. A continuación mostramos la resolución de un problema de selectividad de 2013, sobre simetrías axial y central combinados. Fijémos bien que como las simetriás axial y central son casos particulares de homología, el ejercicio viene enunciado con el título "HOMOLOGÍA".

 

2. Ofrecemos otro típico de homología:

3. Un problema de afinidad de la circunferencia mediante el uso del arco capaz, muy bueno para 2º de bachillerato. El ejercicio en blanco se puede descargar aquí: https://drive.google.com/file/d/1Sq8sK7Jw1B0XMsL2joapNgYbAgX09x25/view?usp=sharing

 

Ejercicio de homología afín (afinidad) de las PAU de Andalucía, de junio de 2024.

Desarrollo de un prisma oblicuo. 2º Bachillerato.

A continuación ofrecemos el enunciado y la resolución del desarrollo de un prisma oblicuo.

Como veis, se resuelve todo de forma muy fácil:
1.  Hallamos la sección recta (la producida por un plano perpendicular a las aristas)  del prisma, usando como método operativo el cambio de planos, es decir: hacemos un cambio de plano vertical, disponiendo la nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal de las aristas. Con este método hemos colocado las aristas del prisma de tal forma que se ven frontales (en verdadera magnitud en su proyección vertical). Y conseguimos también que el plano perpendicular que secciona al prisma pase de ser un plano oblñicuo a ser un plano proyectante vertical.

2. Hallamos así rápidamente la sección plana (la sección recta en este caso), ya que el plano, al ser ya proyectante muestra directamente la intersección.

3. Abatimos el plano con la sección, de tal forma que obtenemos un cuadrilátero 10, 20, 30, 40. Los lados de dicho cuadrilátero nos determina rápidamente la verdadera magnitud de la distancia que hay entre las aristas, algo fundamental para hacer el desarrollo.

4. Para hacer ya el desarrollo tenemos que tener todas las verdaderas magnitudes del prisma, a saber:
 - Las bases superior e inferior, que al ser paralelas o estar contenidas en el plano horizontal de proyección, se ven en verdadera forma y magnitud.
 - La distancia entre la aristas, las cuales las sabemos ya de la sección recta.
 - Las magnitudes de las aristas, las cuales se ven en verdadera magnitud en la proyección vertical del prisma en el nuevo cambio de planos, ya que estas aparecen frontales.

5. Así  pues, trazamos una recta horizontal u sobre ella colocamos las medidas de las distancias entre las aristas. Colocamos a un lado y otro de dicha recta las magnitudes de las aristas que quedan por encima y por debajo de la sección recta. Unimos los puntos y así obtendremos el desarrollo de las caras laterales. Las bases se colocan donde se crean conveniente respetando las magnitudes de ellas, o sacando las magnitudes del propio desarrollo de las caras laterales. Se hallan por triangulación.

Problemas de ángulos en diédrico. 2º de bachillerato

Ofrecemos cuatro problemas de ángulos resueltos con bolígrafo a color. Los enunciados están muy resumidos pero suficientes.

A continuación mostramos vídeos explicativos.

https://youtu.be/hP2YdB_ARgA

https://youtu.be/pRX5qYFZQu8

TA 23. La igualdad y la semejanza: traslación y homotecia. Primer ciclo de ESO.

   En este tema vamos a aprender a dibujar de forma sencilla y precisa formas iguales y formas semejantes. Pero primero veamos lo que en geometría se define como igualdad y como semejanza.

   
   IGUALDAD.

    Dos figuras son iguales cuando tienen igual forma e igual tamaño; cuando superpuestas coinciden en todos sus puntos.

   Si nos fijamos en los tres triángulos que vemos a continuación, veremos que son iguales, ya que si los superponemos uno encima del otro coincidirían en todos sus puntos.

   SEMEJANZA.

   Dos figuras son semejantes cuando tiene igual forma, pero diferente tamaño.

   Si nos fijamos en los dos triángulos, vemos que son exactamente iguales de forma, pero el de la derecha es de mayor tamaño que el de la izquierda.

  

 Vamos a ver ahora dos procedimientos: uno para hacer una figura igual a otra  y el otro para hacer una figura igual que otra, pero ampliada o reducida de tamaño.


LA IGUALDAD POR TRASLACIÓN.

    Se puede obtener una figura igual a otra sometiéndola a una transformación llamada traslación. La figura se traslada una determinada distancia y en una determinada dirección, usando rectas paralelas a la dirección que queremos. Para ello debemos elegir una dirección de traslación y una distancia. 

   El procedimiento consiste en trazar rectas paralelas a la dirección elegida por determinados puntos de la forma y colocar en dichas paralelas la distancia a la que queremos que sea trasladada. Al unir nuevamente los puntos obtenemos la nueva forma.



SEMEJANZA POR HOMOTECIA.

   Se puede obtener una figura semejante a otra sometiéndola a una transformación llamada homotecia. Las rectas que se usan ya no son paralelas, sino que convergen en un punto llamado centro de homotecia.
    Para ello debemos elegir un punto cualquiera, al cual se le suele llamar O (centro de homotecia). Se trazan rectas que partan de ese punto O y que pasen por determinados puntos de la figura. Colocamos un punto transformado al otro lado de la figura y trazamos paralelas por ese punto a las rectas de la primera figura, y repetiremos el mismo procedimiento punto por punto, los cuales nos servirán para resolver la figura.

   Para resolver este ejercicio debes tener muy bien estudiado cómo se trazan rectas paralelas con las escuadra y el cartabón. Si no lo manejas bien es imposible que te salga con éxito.

   Se puede descargar en PDF la ficha del tema de semejanza por homotecia e igualdad por traslación, así como una hoja de ejercicios. Estas fichas se pueden descargar en los siguientes enlaces:

https://drive.google.com/file/d/0B6Ekw_uQN39iQWtPYm5vZWU2Q1U/view?usp=share_link&resourcekey=0-iBAoG987aKdJbeX4xwizvQ

 
https://drive.google.com/file/d/0B6Ekw_uQN39iOTZNeW9VVmZSVU0/view?usp=share_link&resourcekey=0-rXfzZvAvf7PAvVIHiOyDLA


    AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.

    Actividad nº 1.
   Título: Traslación y homotecia.

   La actividad consiste en que en un formato de papel A/4 diseñes tu propia figura y hagas dos ejercicios:

  1º. En la parte superior de la lámina debes de aplicarle a tu figura una traslación.

   2º. En la parte inferior debes aplicarle a tu figura una homotecia.

   Las figuras inferior y superior pueden ser diferentes.

   Se aplicará color para destacar bien las formas.


  A continuación mostramos cómo se va a calificar el trabajo presentado.

Para el ejercicio de igualdad, usando una traslación de la figura:

- De 0 a 0,5 puntos, al encaje dentro del margen.
- De 0 a 0,5 puntos, a la limpieza del dibujo.
- De 0 a 0,5 puntos,, destinados a la originalidad de la figura.
- De 0 a 0,5 puntos, a trabajo con color.
- De 0 a 2 puntos destinados al trazado de la traslación. IMPORTANTE: si el procedimiento está incorrecto se puntuará como 0 este apartado.  1 punto se destinará a la diferencia de grosores entre las formas y las rectas paralelas que se trazn para la traslación. El otro punto irá destinado a la precisión del trazado.


Para el ejercicio de la semejanza:

- De 0 a 1 punto para el encaje del ejercicio dentro del marco del papel.
- De 0 a 0,5 punto para la oroginalidad de la forma.
- De 0 a 0,5 puntos para la limpieza del ejercicio.
- De 0 a 0,5 puntos para el trabajo a color con el lápiz.
- De 0 a 2,5 puntos para el trazado del dibujo. IMPORTANTE: si el procedimiento está incorrecto se puntuará como 0 este apartado.  1 punto se destinará a la diferencia de grosores entre las formas y las rectas paralelas que se trazn para la traslación. 1,5 puntos  irán destinado a la precisión del trazado.

Para el casillero:

- De 0 a 1 punto destinado a colocar la información en el casillero:  pautado correcto de 5 milḿetros con linea fina y letras mayúculas con bolígrafo para escribir el nombre y los dos apellidos, el título de la lámina (traslación y homotecia) , el curso y el grupo.


   
    Mostramos algunos trabajos de los alumnos.

    Actividad nº 2, complementaria, sobre simetrías, traslación y homotecia.


  Resuelve el ejercicio que aparece en la siguiente hoja, la cual te puedes descargar en este enlace: https://drive.google.com/file/d/1jDVZ3pkcE3k6sCMPzc5Q2etUe0jkWR-8/view?usp=sharing

Blogs de Educación Plastica y Visual de gran interés.

Un blog de gran interés 
https://epvmonicosanchez.wordpress.com/2010/03/18/tema-5-el-color/

Un blog extraordinariomuy bien enmaquetado  para 2º-3º de ESO en donde todo se explica con presentaciones de diapositivas.
http://eduplasticajuandiaz.blogspot.com.es/