1. Presentamos una hoja de ejercicios en blanco y otra con las soluciones, sobre ejercicios de homología y afinidad. Tiene especial interés el ejercicio nº 11.
2. Presentamos otro ejercicio. la segunda parte del ejercicio se muestra muy confusa y resolver esa confusión es un buen entrenamiento.
A continuación mostramos las indicaciones para resolver un reloj de sol vertical.
Se pide dibujarlo en una hoja gruesa, a escala 2/1.
1. Definición.
Decimos que un polígono es regular cuando tiene todos los lados y los ángulos iguales.
2. Propiedad fundamental.
Todos los polígonos se pueden inscribir en una circunferencia. La circunferencia se llama circunscrita.
3. Clasificación.
Se clasifican según el número de lados. Pongamos algunos ejemplos.
De tres lados: triángulo equilátero.
De cuatro lados: cuadrado.
De cinco lados: pentágono regular.
De seis lados: hexágono regular.
De siete lados: heptágono regular.
De ocho lados: octógono regular.
De nueve lados : eneágono regular.
De diez lados: decágono regular.
De once lados: undecágono regular.
De doce lados: dodecágono regular.
Hay más polígonos con más lados, pero solo hemos mencionado hasta el de doce lados.
4. Construcción.
Se pueden construir de dos formas: que los tengamos que construir a partir del lado o que tengamos que construirlos a partir de su circunferencia circunscrita.
4.1. Construcción de polígonos regulares conocido el lado.
Vamos a dar solo los cuatro casos que vamos a hacer en la lámina. Ofrecemos los enunciados así como los vídeos explicativos sobre su construcción.
4.1.1. Construcción de un triángulo equilátero dado el lado = 70 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/11927
4.1.2. Construcción de un cuadrado dado el lado= 60 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/21215
4.1.3. Construcción de un pentágono regular dado el lado = 40 mm.
(En el vídeo aparece con un lado de 60 mm, pero da igual. En la lámina se hará con el lado de 40 mm)
https://www.mongge.com/ejercicios/3824
4.1.4. Construcción de un hexágono regular dado el lado= 35 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/46846
4.2. Construcción de polígonos regulares conocida la circunferencia que lo circunscribe.
Para esto lo único que hay que hacer es saber dividir una circunferencia en partes iguales. Al unir las divisiones con segmentos obtendremos el polígono.
Vamos a dar solo los cuatro casos que vamos a dibujar en la lámina. Ofrecemos los enunciados así como los vídeos explicativos de su construcción.
4.2.1. Construcción de un hexágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/17967
4.2.2. Construcción de un heptágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/9654
4.2.3. Construcción de un octógono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/46813
4.2.4. Construcción de un decágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
https://www.mongge.com/ejercicios/26092
AHORA NOS TOCA DIBUJAR A NOSOTROS.
ACTIVIDAD Nº1.
Título: Construcción de polígonos regulares conocido el lado.
Consiste en resolver en una lámina de formato A/4, con margen y casillero los cuatro ejercicios del apartado 4.1.
Se dividirá la lámina en cuatro partes iguales y se hará cada polígono en cada casillero, colocando el enunciado del ejercicio en la parte superior de cada casillero, con un pautado de 10 mm.
Ofrecemos un ejemplo resuelto por los alumnos. Las líneas auxiliares no se ven muy bien por están dibujadas a lápiz y son muy finas, pero si miramos bien, veremos que se ha hecho el procedimiento en cada uno de los dibujos.
ACTIVIDAD Nº2.
Título: Construcción de polígonos regulares conocida la circunferencia circunscrita.
Consiste en resolver en una lámina de formato A/4, con margen y casillero los cuatro ejercicios de
ACTIVIDAD Nº2.
Título: Construcción de polígonos regulares conocida la circunferencia circunscrita.
Consiste en resolver en una lámina de formato A/4, con margen y casillero los cuatro ejercicios del apartadol apartado 4.2.
Se dividirá la lámina en cuatro partes iguales y se hará cada polígono en cada casillero, colocando el enunciado del ejercicio en la parte superior de cada casillero, con un pautado de 10 mm.
Ofrecemos un ejemplo resuelto por los alumnos. Las líneas auxiliares no se ven muy bien por están dibujadas a lápiz y son muy finas, pero si miramos bien, veremos que se ha hecho el procedimiento en cada uno de los dibujos.
ACTIVIDAD Nº3. DE AMPLIACIÓN.
Título: Construcción de polígonos regulares conocido el lado, II.
Consiste en resolver en una lámina de formato A/4, con margen y casillero.
1. Construir un triángulo equilátero conocida la altura = 50 mm.
2. Construir un cuadrado conocida la diagonal = 70 mm.
3. Construir un hexágono conocido el apotema = 30 mm.
4. Construir un heptágono conocido el lado = 30 mm.
ACTIVIDAD Nº4. DE AMPLIACIÓN.
Título: Construcción de polígonos regulares conocida la circunferencia circunscrita, II.
Consiste en resolver en una lámina de formato A/4, con margen y casillero los tres ejercicios siguientes.
1. Construir un pentágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
2. Construir un decágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
3. Construir un eneágono regular conocido el radio de su circunferencia circunscrita = 40 mm.
1. Definición de cuadrilátero.
Cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
2. Designación.
Los cuadriláteros se designan generalmente por sus vértices, los cuales se escriben con mayúsculas y con las primeras letras del abecedario. Estos vértices también sirven para nombrar los ángulos. Se ordenan generalmente en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los lados se nombran generalmente con los propios nombres de los vértices. Por ejemplo: lado AB.3. Propiedades comunes de todos los cuadriláteros.
La suma de sus ángulos siempre es de 360 grados.
Tienen dos diagonales, las cuales son segmentos que unen vértices opuestos.
4. Clasificación de cuadriláteros.
Según la disposición de los lados, los cuadriláteros se clasifican en:
4.1. Paralelogramos: tienen los lados dispuestos paralelos dos a dos. Estos son:
El cuadrado, con lados y ángulos iguales y de 90 grados.
El rectángulo con lados paralelos iguales y ángulos de 90 grados.
El rombo, de lados iguales y ángulos opuestos iguales.
Y el romboide, de lados paralelos iguales y ángulos opuestos iguales.
4.2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos y reciben el nombre de bases. Los otros dos no son paralelos. Estos son: el trapecio rectángulo, con uno de sus lados no paralelos perpendicular a las bases, el trapecio isósceles, con sus lados no paralelos iguales entre sí, y el trapecio escaleno, de lados no paralelos desiguales.
4.3. Trapezoides: son cuadriláteros que no tiene ninguno de sus lados paralelos entre sí.
5. Construcción de cuadriláteros.
5.1. Construir un rectángulo conocidos un lado AB= 60 mm y una diagonal AC= 70 mm.
Vídeo explicativo: https://youtu.be/_WZKihcJBDI
5.2. Construir un rombo dadas las dos diagonales AC= 60 mm y BD= 40.
En el vídeo explicativo a la diagonal AB la llama D y la la diagonal BD la llama d: https://youtu.be/EPdUb97i07E
5.3. Construir un romboide dado el lado AB=50 mm, el lado AD= 35 mm y el ángulo A= 60º.
Ver vídeo: https://youtu.be/fYeSpVH82Qw
5.4. Construir trapecio isósceles dada la dos bases AB=70 mm y CD= 40 mm, así como la altura=35 mm.
Ver vídeo:https://youtu.be/0ixbqVl85qU
También está muy claro el problema en este vídeo: https://youtu.be/8O7K1XUXHm0
ACTIVIDAD Nº 1.
La actividad consiste en dividir un formato A/4 con margen y casillero en cuatro partes iguales y en cada una de ellas dibujar los cuatro problemas que se han visto en el apartado anterior. Se deberá colocar el enunciado en la parte superior de cada dibujo con un pautado de dos a tres renglones a 7 mm de distancia.
Mostramos un ejemplo sobre cómo han de quedar los dibujos. Se ven poco los trazdos pues están hechos a lápiz y contrastan poco:
ACTIVIDAD Nº 2, DE AMPLIACIÓN.
La actividad consiste en dividir un formato A/4 con margen y casillero en cuatro partes iguales y en cada una de ellas dibujar los cuatro problemas que vienen a continuación. Se deberá colocar el enunciado en la parte superior de cada dibujo con un pautado de dos a tres renglones a 7 mm de distancia.
1. Construir un trapecio rectángulo conocidos la base AB= 55mm, la altura= 30 mm y un lado no básico BC=35 mm. (Salen dos soluciones)
2. Construir un trapecio conocidos el lado AB= 75 mm, el lado BC= 45 mm, la diagonal AC= 60 mm y el lado CD= 35 mm.
3. Construir un rombo conocidos un lado =50 mm y uno de los ángulos= 60º.
4. Construir un romboide conocidos el lado AB= 55 mm, el lado BC= 40 mm y la altura correspondiente al lado AB= 30 mm.
En este tema vamos a tratar lo siguiente sobre los triángulos: definición, designación, propiedades fundamentales, clasificación, construcción, rectas notables y puntos notables.
1. Definición de triángulo.
Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Es un polígono de tres lados.
2. Designación de un triángulo.
Los puntos de intersección de las rectas se denominan vértices, y se designan mediante letras mayúsculas, generalmente las primeras del abecedario. También con ellas se designan el ángulo correspondiente en dicho vértice. Se suelen colocar en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los segmentos comprendidos entre dos vértices se denominan lados. estos se designan con letras minúsculas y reciben el nombre del vértice opuesto. Por ejemplo, el lado a será siempre el opuesto al vértice A.
3. Propiedades fundamentales.
La suma de lo ángulos de un triángulo es siempre de 180º.
A mayor ángulo se opone siempre mayor lado.
4. Clasificación de un triángulos.
Atendiendo a la magnitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: si sus lados son iguales.
Isósceles: si dos de sus lados son iguales y el tercero es desigual.
Escaleno: si sus tres lados son desiguales.
Atendiento a la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Acutángulo: si tiene los tres ángulos agudos (menores de 90º).
Rectángulo: si tiene un ángulo recto (de 90º). El lado mayor recibe el nombre de hipotenusa, los otros dos reciben el nombre de catetos y son los que forman el ángulo recto.
Obtusángulo: si tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º).
5. Construcción de triángulos.
Como norma general, siempre hacen falta tres datos para construir un triángulo. A continuación ofrecemos varios ejercicios.
5.1. Construcción de un triángulo conocidos los tres lados a= 80mm, b= 60 mm y c= 70 mm.
Tenemos un ejemplo muy bueno sobre cómo es su construcción, aunque los datos no sean los mismo, en el siguiente vídeo: https://youtu.be/4_tWUuqwIXE
5.2. Construcción de un triángulo conocidos el lado a = 120 mm y los ángulos adyacentes B= 45º y C= 60º.
Tenemos un ejemplo muy bueno sobre cómo es su construcción, aunque los datos no sean los mismos y los ángulos nos los den dibujados en vez darlos con cifras, en el siguiente vídeo: https://www.mongge.com/ejercicios/4347
5.3. Construcción de un triángulo rectángulo conocidos los dos catetos b= 70 mm y c= 95mm.
Ver vídeo: https://youtu.be/f4uZkhl0omw
5.4. Construcción de un triángulo el lado b=130 mm, el ángulo C= 30º y el lado c= 80 mm. (Dos soluciones).
Tenemos
un ejemplo muy bueno sobre cómo es su construcción, aunque los datos no
sean los mismos y los ángulos nos los den dibujados en vez darlos con
cifras, en el siguiente vídeo: https://youtu.be/B_cmXOzpCfI
6. Rectas y puntos notables de un triángulo.
Las rectas notables de un triángulo son:
Las bisectrices de sus ángulos.
Las mediatrices de sus lados.
Las medianas, las cuales son los segmentos que unen los puntos medios de los lados con sus vértices opuestos.
Las alturas, las cuales son las rectas perpendiculares trazadas a cada lado desde su vértice opuesto.
Los puntos notables de un triángulo son:
El incentro: es el punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
El circuncentro: es el punto donde se cortan la mediatrices de los lados. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
El baricentro: es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo. Es el centro de gravedad del triángulo.
El ortocentro: es el punto de corte de las alturas de un triángulo.
La obtención de los puntos y las rectas notables vienen explicados en los siguientes vídeos:
El incentro y la circunferencia inscrita: https://youtu.be/qHliOgwfojo
El circuncentro y la circunferencia circunscrita: https://youtu.be/mm5kgKjb_T4
El baricentro: https://youtu.be/iabPBlU3drY
El ortocentro: https://youtu.be/T3n7yUdojbY
ACTIVIDAD Nº 1.
Título: Triángulos. Construcción. Puntos y rectas notables, I.
En un formato A/4 con margen y casillero se hará lo siguiente, usando los materiales de trazado geométrico:
Construir en la parte superior el problema 5.1. Al triángulo se le hallará el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Debe tener en la parte superior el siguiente enunciado: Construcción de un triángulo conocidos los tres lados a = 80mm, b= 60mm y c=70 mm. Obtención del cincuncentro y la circunferencia circunscrita.
Construir en parte inferior el problema 5.2. Al triángulo se le hallará el ortocentro. debe tener en la parte superior el siguiente enunciado: Construcción de un triángulo conocidos el lado a = 120 mm, y los ángulos adyacentes B= 45 º y C= 60º. Obtención del ortocentro.
ACTIVIDAD Nº 2.
Título: Triángulos. Construcción. Puntos y rectas notables, II.
En un formato A/4 con margen y casillero se hará lo siguiente, usando los materiales de trazado geométrico:
Construir en la parte superior el problema 5.3. Al triángulo se le hallará el incentro y la circunferencia inscrita. Debe tener en la parte superior el siguiente enunciado: Construcción de un triángulo rectángulo conocidos los catetos b= 70 mm y c=95 mm. Obtención del incentro y la circunferencia inscrita.
Construir en la parte inferior el problema 5.4. Se hallarán los dos posibles triángulos. Al triángulo de menor área se le hallará el baricentro. Debe tener en la parte superior el siguiente enunciado: Construcción de un triángulo el lado b= 130 mm, el ángulo C= 30º y el lado c=80 mm. (Dos soluciones). Obtención del baricentro en uno de ellos.
Aquí mostramos un ejemplo:
ACTIVIDAD Nº 3. DE AMPLIACIÓN.
Resuelve un triángulo con los siguientes datos: lado c=45 mm, lado b= 95 mm y ángulo B= 120º. Una vez resuelto halla su ortocentro, su circuncentro y su circunferencia circunscrita.
ACTIVIDAD Nº 4.
Título: Análisis geométrico de símbolo comercial.
Antes de hacer la actividad interesa ver este artículo, el cual trata sobre la importancia del uso de los triángulos para configurar los símbolos y logotipos de las marcas comerciales: https://www.paredro.com/para-la-elaboracion-de-logotipos-el-triangulo-es-una-figura-muy-atractiva/
La actividad consiste en hacer un análisis y dibujar el símbolo de la marca de coches Mitsubishi. La descripción de la actividad la tenemos en esta entrada de este mismo blog: https://dibutodo.blogspot.com/2017/01/analisis-geometrico-del-simbolo-de.html
ACTIVIDAD Nº 5.
Título: Triángulos. Nociones teóricas.
En un solo formato A/4 de hoja cuadriculada, debe aparecer la teoría explicada (sin dibujos) y que habéis escrito, a saber:
En primer lugar el nombre, los dos apellidos, el curso y el grupo arriba a la derecha.
Tema: Triángulos. nociones Teóricas.
Definición
Designación.
Propiedades fundamentales.
Clasificación de triángulos.
Rectas y puntos notables de un triángulo.
A continuación ofrecemos las soluciones de ejercicios de perspectiva axonométrica para 1º de bachillerato.
Ejercicio 1. La página en blanco de puede descargar en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1OgifWH3nhhLXPoq-Z4Bft_n00sfWSPob/view?usp=sharing
Ejercicio 2. La página en blanco de puede descargar en el siguiente enlace: https://drive.google.com/file/d/1l-4cgQLg32MYjpS2pchcPbpP9DslgzrW/view?usp=sharing
