A continuación mostramos las preguntas que pueden caer de teoría en un examen que trate del tema de triángulos, así como problemas de construcción de estos.
PREGUNTAS DE TRIÁNGULOS.
1. Definición de triángulo.
2. Clasificación de triángulos según sus lados.
3. Clasificación de triángulos según sus ángulos.
4. Enumera las rectas notables de un triángulo y los puntos notables que se obtienen con ellas.
5. Qué es una circunferencia inscrita en un triángulo.
6. Qué es una circunferencia circunscrita en un triángulo.
7. ¿Qué es el baricentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
8. ¿Qué es el ortocentro de un triángulo?
9. ¿Qué es el incentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
10. ¿Qué es el circuncentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
11. ¿Cuanto sumán los ángulos de un triángulo?
2. Clasificación de triángulos según sus lados.
3. Clasificación de triángulos según sus ángulos.
4. Enumera las rectas notables de un triángulo y los puntos notables que se obtienen con ellas.
5. Qué es una circunferencia inscrita en un triángulo.
6. Qué es una circunferencia circunscrita en un triángulo.
7. ¿Qué es el baricentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
8. ¿Qué es el ortocentro de un triángulo?
9. ¿Qué es el incentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
10. ¿Qué es el circuncentro de un triángulo? ¿Qué propiedad tiene?
11. ¿Cuanto sumán los ángulos de un triángulo?
12. Completa las preguntas que aparecen en la ilustración
PROBLEMAS DE
CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.
A continuación ofrecemos diferentes problemas de construcción de triángulos y la solución.
Nomenclatura:
<A, <B, <C:
ángulos correspondientes a los vértices A,B y C del triágulo.
a, b , c: lados a, b y c
del triángulo.
ha, hb, hc: alturas
respectivas correspondientes a los lados a, b y c. Recordemos que un triángulo tiene tres alturas.
ma, mb, mc: medianas
respectivas correspondientes a los lados a, b y c y ángulos A, B y
C.
Los elementos del triángulo se ordenan en sentido contrario a las agujas del reloj y a cada lado le corresponde su mismo nombre en el vértice opuesto, tal como se ve en la siguiente ilustración:
Los elementos del triángulo se ordenan en sentido contrario a las agujas del reloj y a cada lado le corresponde su mismo nombre en el vértice opuesto, tal como se ve en la siguiente ilustración:
- Construir un triángulo equilátero, conocido el radio de la circunferencia que lo circunscribe, igual a 35 mm.
Consiste en saber dividir la circunferencia en tres partes iguales:
Se traza la circunferencia de radio 35 mm.
Se traza un diámetro. El punto 1 será una de las divisiones.
Haciendo centro en el otro extremo del diámetro, se traza un arco de circunferencia del mismo radio que la dada, el cual pasará por el centro de la circunferencia y la cortará en los puntos 2 y 3. Ya tenemos los tres puntos de la división.
Basta con unir los puntos 1,2 y 3 para obtener el triángulo pedido.
- Construir un triángulo isósceles, conocidos su lado desigual a= 40 mm y el ángulo opuesto <A= 45º.
Colocamos sobre una semirrecta la magnitud del lado a= 40 mm.
Trazamos el arco capaz del ángulo de 45º para el segmento 40 mm.
Como el triágulo isósceles es simétrico, siendo el eje de simetría la mediatriz del lado a,que es desigual, El vértica A del triágulo estará en la intersección de la mediatriz con el arco capaz.
Basta unir el punto A con los extremos del lado a, para trazar el triángulo solución.
- Construir los posibles triángulos rectángulos, conocidos la hipotenusa a= 75 mm y la altura correspondiente a la hipotenusa ha= 30 mm.
Trazamos el arco capaz de la hipotenusa, para un ángulo de 90º, es decir, uns semicircunferencia, ya que el triángulo que se nos pide es rectángulo.
Trazamos una semirrecta coincidente con el lado (hipotenusa) a y en ella levantamos una recta perpendicular en donde colocamos la magnitud de la altura que se nos da.
Trazamos una recta paralela a la hipotenusa y a la distancia dada por la altura.
Donde el arco capaz corte a la paralela, obtenemos el vértice buscado `para resolver el triángulo. Como se ve, hay dos soluciones posibles.
- Construir un triángulo conocidos: <A= 30º, <B= 45º y c= 50 mm.
Se traza el segmento c, lado del triángulo. Obtenemos así los vértices A y B.
Se traza el ángulo A igual a 30º, siendo uno de los lados del ángulo el lado a.
Se traza el ángulo B igual a 45º, siendo uno de los lados del ángulo el lado a.
Donde se cortan los dos lados de ángulo obtenemos el vértic A buscado (no aparece escrito en el dibujo), obeniéndose así el triángulo solución.
- Construir los posibles triángulos conocidos: lado a= 70 mm, lado b= 50 mm y altura correspondiente al lado a, ha= 40 mm.
Se traza una semirecta y sobre ella se coloca el lado a.
Sobre la semirrecta se levanta la altura ha.
Se traza una paralela al lado a a esa altura correspondiente.
Con centro en el extremo derecho del lado a (donde estaría el vértice C), se traza un arco de circunferencia de radio igual al b= 50 mm.
Si nos fijamos bien, el arco corta a la paralela trazada en dos puntos que son vértices de los triágulos buscados. Basta unir los vertices buscados con los extremos del lado a para resolver los triángulos.
- Construir un triángulo conocidos: <B= 120º, c= 40 mm y a= 50 mm.
Se traza una semirrecta y sobre ella se coloca la magnitud del lado a de 50 mm, siendo el vértice B el extremo de la semirrecta.
En el vértice B se construye el ángulo B de 120º.
Sobre el otro lado del ángulo colocamos la magnitub del lado c, de 40 mm.
Basta unir los dos puntos extremos de los lados a y b para obtener el triángulo.
- Construir un triángulo conocidos: b= 70 mm, <C= 45º y hb= 50 mm.
Sobre una recta colocamos el lado b de 70 mm y levantamos una perpendicular sobre ella, colocando el valor de la altura hb=50 mm.
Trazamos una paralela a la recta a la distancia de la altura ha.
Trazamos en el extremo C del lado a el ángulo C = 45º.
El lado del ángulo C cortará a dicha paralela, siendo el punto de corte el vértice B (opuesto al lado b). Basta unir dicho punto con los extremos del lado a para obtener el triángulo buscado.
- Construir un triángulo conocidos: a= 65 mm, b= 50 mm y <A= 45º.
Trazamos un segmento con la medida correspondiente al lado a = 65 mm.
Hallamos el arco capaz del ángulo correspondiente al vértice A de 45º para ese segmento a.
Con centro en el extremo derecho de a (donde estaría en vértice C) y radio igual al labo b= 50mm, trazamos un arco de circunferencia, el cual cortará al arco capaz, determinándonos el vértice A opuesto al lado a.
Basta unir los tres vértices para obtener el triángulo solución.
Conviene señalar que el lado b nos lo podrían dar de una magnitudlo suficientemente grande como para cortar al arco capaz en dos puntos, obteniéndose dos soluciones de dos posibles triángulos.
- Construir un triángulo conocidos: c= 75 mm, <C= 60 º y mc= 50 mm.
Trazamos un segmento correspondiente al lado c.
Trazamos el arco capaz de 60º para el segmento c.
Con centro en el punto medio del lado c y radio de 50 mm igual a la mediana correspondiente al lado y vértice C, trazamos un arco de circunferencia que cortará al arco capaz en dos puntos. Dichos puntos son las dos posibles soluciones donde estaría ubicado el vértice C.
Basta unir los vértices (extremos del segmento a ) con los vértice C para obtener dos posibles triángulos solución.
- Construir un triángulo equilátero conocido un tercio del valor de las medianas = 15 mm.
En un triágulo equilátero todas la medianas son de igual magnitud, así como todas la alturas. Los cuatro puntos notables (ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro) coinciden.
Recordemos también que todo baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas y que dicho baricentro siempre queda a un tercio de cada mediana. Basta con saber el valor del tercio de la mediana para localizar el baricentro al menos una mediana.
Visto lo anterior trazamos una recta y sobre ella colocamos un punto que será el baricentro. A partir de él colocaremos el valor de 1/3 de la mediana, en sentido opuesto 2/3 de la mediana, obteniendo el lugar de uno de los vértices.
Ya que el baricentro coincide con el circuncentro, con centro en el baricentro G y radio 2/3 trazamos una circunferencia, que será la que circunscribe al triángulo rquilátero solución.
La mediana coincide con la altura. Así pues, trazamos una perpendicular por el otro extremo de la mediana. Dicha perpendicular cortará a la circunferencia circunscrita en puntos que serán los tros dos vértices del triángulo solución.
11. Resolver los dos problemas siguientes:
Hallar un triángulo conocidos el lado a y el ortocentro O. Una vez resuelto, hállale el incentro.
Hallar un triángulo conocidos el lado b y el baricentro G. Una vez resuelto, hállale el circuncentro.
Para ello deberás descargarte la hoja que se adjunta en formato PDF, entrando en este enlace. No estaría de más que, además de hallar el incentro y el circuncentro a los triángulos, también trazaras la circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente.
https://drive.google.com/open?id=1CVTXMaS5uqzt3nLnjzLwtCICjrE7FNo2
ACTIVIDAD DE AMPLIACIÓN.
Para terminar, hagamos ahora un problema que aglutina muchas propiedades de los triángulos: hallar el segmento y la circunferencia de Euler. Para ello haremos los siguientes pasos uno por uno.
1º. Construir un triángulo conocidos los tres lados, a= 150 mm, b=132 mm y c= 116mm.
2º. Halla en el triángulo los cuatro puntos notables: incentro (bisectrices), circuncentro (mediatrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas).
3º. Halla el triángulo órtico: recuerda que es el que tiene como vértices los pies de las alturas. Verifica cómo las alturas del triángulo dado coinciden con las bisectrices del triángulo órtico.
4º. Halla el segmento de Euler, el cual abarca los puntos baricentro, ortocentro y circuncentro.
5º. Halla la circunferencia de Euler. Dicha circunferencia tiene como centro el punto medio del segmento de Euler y como radio 1/2 del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.
6º. Comprueba cómo la circunferencia de Euler contiene 9 puntos significativos en el triángulo dado, a saber:
- Los pies de las alturas.
- Los puntos medios de los lados.
- Los puntos medios de los segmentos que tienen por extremo el ortocentro y los vértices del triángulo.
Es sorprendente la cantidad de propiedades geométricas que tiene un triángulo, ¿no?
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